Geometrie, Antike

Die Geometrie (griechisch, Erdmessung) mit ihren Teildisziplinen Planimetrie (griechisch, Flächenmessung) und Sterometrie (griechisch, Körpermessung) untersucht die uns umgebende Wirklichkeit auf sehr abstrakte Weise. Sie beschäftigt sich nur mit den äußeren Formen der Gegenstände und lässt die stoffliche Zusammensetzung der Dinge und damit die biologischen, physikalischen und chemischen Eigenschaften unberücksichtigt.
Die Griechen schufen mit Axiome n und Postulaten und der aristotelischen Logik die Grundlage für den Beweis der in Mesopotamien und Ägypten empirisch gewonnenen Ergebnisse, machten die Geometrie zur Wissenschaft und benutzten sie zum Beweis algebraischer und zahlentheoretischer Aussagen.

Welch beachtlichen Umfang die Kenntnisse bereits frühzeitig hatten, zeigte das von EUKLID VON ALEXANDRIA etwa 325 v. Chr. verfasste, 13 Bücher umfassende Werk „Elemente“. Sie gehörten zu den Büchern mit den meisten Auflagen, denn noch zu Ende des 19. Jh. wurden einzelne überlieferte Kapitel als Lehrmaterialien verwendet. EUKLID stellte darin systematisch das mathematische Wissen seiner Zeit zusammen. Geometrische Ausführungen nahmen großen Raum ein und Betrachtungen zum Messen von Streckenlängen, Winkelgrößen, Flächeninhalten und Volumina verbanden Arithmetik und Geometrie. Heute weiß man, dass nicht alle Bücher direkt auf EUKLID zurückgehen und auch eine Reihe von Erkenntnissen anderer Mathematiker verarbeitet wurden.
Hervorzuheben ist das Bemühen EUKLIDS und anderer griechischer Gelehrter um logische Strenge beim Begründen und um den Verzicht auf rein anschauliche Argumente.
Hierin liegt auch die epochale Bedeutung der Elemente des EUKLID, da in ihnen zum ersten Mal ein axiomatisch-deduktiver Aufbau der Mathematik vorgenommen wurde. Der erreichte abstrakte Charakter der Geometrie erlaubte die Ableitung von Gesetzmäßigkeiten unter weitgehendem Verzicht auf die Anschauung aus einer recht kleinen Zahl von grundlegenden, von allen als wahr angesehenen Aussagen (den sogenannten Axiomen).
Die griechischen Gelehrten jener Zeit entnahmen nur sehr wenige Eigenschaften der Anschauung. So findet man bei EUKLID auch Definitionsversuche selbst für die Begriffe Punkt und Linie:

Ein Punkt ist was keine Teile hat; eine gerade Linie liegt gleichmäßig zu ihren Punkten.

In den Postulaten (Axiomen) wurde festgelegt, welche Eigenschaften diese Begriffe haben, um die weitere Aussagen beweisen zu können, was dann die Definitionen eigentlich überflüssig machte. Die Reihenfolge der abgeleiteten Aussagen war vom rein logischen Vorgehen bestimmt.
Ein solches Vorgehen ist zugleich notwendig, weil gewonnene Aussagen z. B. über Winkelsummen oder Seitenlängen ja nicht nur für die gerade untersuchte konkrete Figur, sondern für eine möglichst große Klasse von Figuren (beispielsweise für alle Dreiecke) gelten sollen.
Eine Aussage wurde bewiesen, sobald die Voraussetzungen gewonnen waren. Als euklidisches Beweisverfahren bezeichnet man die nach dem Schema: Voraussetzung - Behauptung - Beweis erstellte folgerichtige Kette geometrischer Aussagen, wobei die Kongruenz Hauptbeziehung des Vorgehens war.
Das Axiomensystem des EUKLIDs war nicht willkürlich gewählt, sondern war der vorläufige Abschluss einer jahrtausendelangen Abstraktion täglicher Erfahrung der Menschen. Die sich daraus ergebende Geometrie ist die Geometrie unserer Anschauung. Bis zum Ende des 19. Jh. war sie Grundlage der Naturwissenschaft und Technik.