Zum Lösen linearer Gleichungssysteme aus n Gleichungen mit n Unbekannten kann man (neben der cramerschen Regel) den gaußschen Algorithmus (auch gaußsches Eliminierungsverfahren genannt) verwenden.
Der gaußsche Algorithmus macht von folgenden Umformungen Gebrauch:
Bei diesen Umformungen handelt es sich um äquivalente Umformungen , d. h., durch sie wird die Lösungsmenge des Gleichungssystems nicht verändert.
Der gaußsche Algorithmus besteht dann aus folgenden Schritten:
Beispiel:
Schritt 1:
Vertauschen der Gleichungen (I) und (II) und neu nummerieren
Schritt 2:
Gleichung (I) beibehalten
Schritt 3:
a) Gleichung (I) mit 2 multiplizieren und zu (II) addieren, ergibt (II')
b) Gleichung (I) mit 4 multiplizieren und zu (III) addieren, ergibt (III')
Nach den Schritten 2 und 3 ergibt sich:
Schritt 4:
Gleichung (I) und Gleichung (II') beibehalten
Schritt 5:
Gleichung (II') mit 2 multiplizieren und zu (III') addieren, ergibt (III'')
Nach den Schritten 4 und 5 ergibt sich:
Die Gleichung (III'') enthält nur noch eine Unbekannte, und die Dreiecksform ist erreicht. Das Verfahren ist also beendet.
Aus (III'') folgt z = 2;
aus (II') und unter Beachtung von z = 2 folgt y = –2;
aus (I) und unter Beachtung von z = 2 und y = –2 folgt x = 1.
Zur Probe setzt man die gefundenen Werte in das Ausgangsgleichungssystem ein und erhält die Bestätigung der Richtigkeit. (Da nur äquivalente Umformungen erfolgten, ist die Probe aus mathematischer Sicht nicht erforderlich. Sie dient aber dazu, mögliche Rechenfehler auszuschließen.)
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