Folgen, Partialsummen

Für einige Folgen lassen sich relativ leicht Formeln zur Berechnung der Partialsummen angeben (s. auch Rechenbeispiel 1).
Wir betrachten dazu nachstehend zwei Beispiele.

Beispiel 1:
$a_n=a_{n-1}+2;a_1=2bzw.a_n=2n(n=\mathrm{1,}2;3\mathrm{...})$

Man erkennt, dass die Partialsummen mit zunehmendem n immer größer werden und schließlich über alle Grenzen wachsen:
$\begin{array}{c}{s}_1=a_1=2\\ s_2=a_1+a_2=s_1+a_2=2+4=6\\ s_3=a_1+a_2+a_3=s_2+a_3=6+6=12\\ \mathrm{...}\\ s_n=a_1+a_2+\mathrm{...}+a_n=\frac{n}{2}(2+2n)=n^2+n\end{array}$

Beispiel 2:
$a_n=\frac{a_{n-1}}{2};a_1=1bzw.a_n=\frac{1}{2^{n-1}}=2^{1-n}(n=\mathrm{1,}2;3\mathrm{...})$

In diesem Beispiel werden die Partialsummen mit zunehmendem n zwar auch immer größer, bleiben aber (wie folgende Formel zeigt) stets unter dem Wert 2:
$\begin{array}{c}{s}_1=1;s_2=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}=\mathrm{1,5};s_3=\frac{3}{2}+\frac{1}{4}=\frac{7}{4}=\mathrm{1,75};\\ s_4=\frac{7}{4}+\frac{1}{8}=\frac{15}{8}=\mathrm{1,875}\mathrm{...}\\ s_n=2-\frac{1}{2^{n-1}}\end{array}$

Die immer weiter fortgesetzte Partialsumme einer (unendlichen) Zahlenfolge nennt man eine (unendliche) Reihe.