Eulersche Zahl

Die eulersche Zahl e mit
$e=\text{2}\text{,}\text{718}\text{281}\text{828}\text{459}\text{045}\text{235}\text{360}\text{287}\text{471}\text{352}\mathrm{...}$
ist eine für die Wissenschaft und insbesondere für die Mathematik wichtige Zahl. Sie liegt vielen Wachstums- bzw. Zerfallsprozessen in der Natur zugrunde. Beispiele dafür sind etwa die Vermehrung einer Bakterienkolonie bzw. der radioaktive Zerfall. Die Zahl e ist „Basis des natürlichen Logarithmus“.

Die Bezeichnung mit dem Buchstaben e geht auf LEONHARD EULER (1707 bis 1783) zurück.

Unter allen möglichen Basen für Exponentialfunktionen spielt die mit dem Buchstaben e (der eulerschen Zahl) bezeichnete eine besondere Rolle. Da jeder Taschenrechner eine Funktionstaste für diese Basis enthält, soll diese merkwürdige Zahl kurz erläutert werden:
e ist die Zahl, die sich (näherungsweise) ergibt, wenn man die Terme ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ bzw. ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+1}$ für zunehmend größer werdende Werte von n berechnet (man sagt auch: „wenn n gegen unendlich geht“).

Bereits mit dem Taschenrechner kann man sich den Prozess der „Annäherung“ klarmachen, wie folgende Tabelle zeigt:

Die eulersche Zahl ist wie $\pi$ eine transzendente Zahl. Auf dem Taschenrechner kann man sich diese Zahl anzeigen lassen, indem man die erste Potenz von e angeben lässt:

1 - Funktionsumschalttaste (F bzw. SHIFT) – Taste ln – Taste 1 – Taste =

Eine schnelle Iteration (Näherung) ist durch folgende Summation möglich:
$e=1+\frac{1}{1}+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}+\mathrm{...}$

Analog wie es eine Zahl a gibt, um eine positive Zahl z durch ${10}^a$darzustellen, nämlich den dekadischen Logarithmus von a, so gibt es auch eine Zahl b, den natürlichen Logarithmus von b, um z durch $e^b$ darzustellen. Diese Exponenten sind ebenfalls tabelliert. Heute kann man sie auf jedem Taschenrechner ablesen. Für wissenschaftliche Arbeiten bringt es – auch wenn es ein Anfänger in der Mathematik kaum glauben kann – Vorteile, die Basis e statt der Basis 10 zu verwenden.

Anmerkung: Wer tiefer in die Mathematik eindringen will, der steuere das Verständnis folgender schon LEONHARD EULER bekannter Beziehung an:
$e^{2\pi \sqrt{-1}}=e^{2\pi i}=1$