Bruchgleichungen, Lösen

Ein Term wird Bruchterm genannt, wenn sein Nenner eine Variable enthält.
Eine Gleichung bzw. Ungleichung wird Bruchgleichung bzw. Bruchungleichung genannt, wenn sie mindestens einen Bruchterm enthält.

Bruchgleichungen werden zumeist folgendermaßen gelöst:

1. Es wird der Hauptnenner der Bruchgleichung z. B. durch
   Primfaktorzerlegung oder durch Faktorisierung bestimmt.
2. Beide Seiten der Bruchgleichung werden mit dem Hauptnenner multipliziert.
3. Auf beiden Seiten werden die Brüche gekürzt.
4. Die neue Gleichung wird mit den bekannten Schritten für
   äquivalentes Umformen gelöst.
5. Es muss geprüft werden, ob die Lösung der neuen Gleichung auch zur Definitionsmenge der Bruchgleichung gehört.

Beispiel:

$\begin{array}{l}\frac{\text{5}}{\text{2x}}-\frac{\text{2}}{\text{4x}}=\text{2}\left(\text{x}\ne \text{0}\right)\\ \frac{\text{5}}{\text{2x}}-\frac{\text{2}}{\text{4x}}=\text{2}|\cdot \text{4x}\text{,}\text{da}\text{Hauptnenner}\\ \frac{\text{5}\cdot \text{4x}}{\text{2x}}-\frac{\text{2}\cdot \text{4x}}{\text{4x}}=\text{2}\cdot \text{4x}|\text{kürzen}\\ \text{10}-\text{2}=\text{8}\text{x}|\text{zusammenfassen}\\ 8=8x|:8\\ \text{1}=\text{x}\\ \text{L = }\left\{\text{1}\right\}\text{,}\text{da}\text{der}\text{Wert}\text{für}\text{x}\text{zur}\text{Definitionsmenge}\text{gehört}\text{.}\end{array}$

Eine weitere Möglichkeit, eine Bruchgleichung zu lösen, besteht darin,
die Bruchgleichung in die Form „$\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}=\text{0}$“ umzuformen und die Werte für die Variablen zu bestimmen, für die der Zähler null und der Nenner zugleich nicht null ist.

Beispiel:

$\begin{array}{l}\frac{\text{1}}{\text{m}-\text{3}}-\frac{\text{2}}{\text{m}+\text{3}}=\frac{\text{3}}{{\text{m}}^{\text{2}}-\text{9}}|-\frac{\text{3}}{{\text{m}}^{\text{2}}-\text{9}}\left(\text{m}\ne \left|\text{3}\right|\right)\\ \frac{\text{1}}{\text{m}-\text{3}}-\frac{\text{2}}{\text{m}+\text{3}}-\frac{\text{3}}{{\text{m}}^{\text{2}}-\text{9}}=\text{0}|\text{Hauptnenner}\\ \frac{m+3-2\left(m-3\right)-3}{m^2-9}=0|\text{zusammenfassen}\\ \frac{-m+6}{m^2-9}=0\\ \text{Zähler}\left(=\text{0}\right)\text{:}-m+6=0\\ \text{m}=\text{6}\\ \text{Nenner}\left(\ne \text{0}\right)\text{:}{\text{m}}^{\text{2}}-\text{9}=36-9=27\\ \text{Probe:}\frac{\text{1}}{\text{6}-\text{3}}-\frac{\text{2}}{\text{6}+\text{3}}=\frac{\text{3}}{\text{36}-\text{9}}\\ \frac{1}{3}-\frac{2}{9}=\frac{3}{27}\\ \frac{3}{9}-\frac{2}{9}=\frac{1}{9}\\ \frac{1}{9}=\frac{1}{9}\\ \text{L}=\left\{\text{6}\right\}\end{array}$