Beweisverfahren, Allgemeines

Betrachtet man die Mathematik als Gebäude, dann bilden Grundbegriffe und als wahr angenommene Grundaussagen (sogenannte Axiome bzw. Postulate) das Fundament. Der Aufbau des Gebäudes vollzieht sich im Wesentlichen dadurch, dass ausgehend von den Grundbegriffen weitere Begriffe (sogenannte abgeleitete Begriffe) gebildet (definiert) werden sowie Zusammenhänge zwischen ihnen erkannt und in Aussagen formuliert werden. Als wahr erkannte Aussagen werden als Sätze (Lehrsätze) in das Gebäude aufgenommen und bei dessen weiterer Vervollkommnung verwendet.
Der Nachweis der Wahrheit einer Aussage, eines mathematischen Satzes, erfolgt durch einen Beweis. Man unterscheidet direkte und indirekte Beweise.

Die Struktur mathematischer Sätze ist im Allgemeinen eine Implikation der Form $A\Rightarrow B$, wobei das Vorderglied A die Voraussetzung und das Hinterglied B die Behauptung genannt wird.
Von dorther ergibt sich beim Beweisen eine Dreiteilung:
$\begin{array}{||}\hline Voraussetzung\\ \hline\end{array}-\begin{array}{||}\hline Behauptung\\ \hline\end{array}-\begin{array}{||}\hline Beweis\\ \hline\end{array}$
Der dritte Schritt (die eigentliche Beweisdurchführung) besteht aus einer Kette von Folgerungen, in denen nur die Voraussetzung(en), vorhandene Definitionen und bereits bewiesene Sätze verwendet werden dürfen. Am Ende dieser Kette, die durch logische Schlussregeln aufgebaut und begründet ist, muss sich die Behauptung ergeben.

Im Folgenden seien Beispiele für wichtige im Mathematikunterricht vorkommende logische Schlussregeln aufgezählt:

• Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch
  $\neg \left(A\wedge \neg A\right)$
  Es ist nicht wahr, dass eine Aussage und ihr Gegenteil gleichzeitig gelten.
• Satz vom ausgeschlossenen Dritten
  $A\vee \neg A$
  Eine Aussage ist entweder wahr oder falsch, etwas Drittes gibt es nicht.
• Abtrennungsregel (modus ponens)
  $\begin{array}{l}A\Rightarrow B\\ \underset{¯}{A}\\ B\end{array}$
  Beispiel: Wenn $\alpha und\beta$ Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind, dann ist $\alpha \cong \beta$. Nach Konstruktion sind $\alpha und\beta$ Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen. Also gilt $\alpha \cong \beta$.
• Kettenregel oder Kettenschluss (modus barbara)
  $\begin{array}{l}A\Rightarrow B\\ \underset{¯}{B\Rightarrow C}\\ A\Rightarrow C\end{array}$
  Beispiel: Aus der Gültigkeit der Aussagen „Wenn $12|a$, dann auch $6|a$“ und „Wenn $6|a$, dann auch $3|a$“ folgt die Gültigkeit der Aussage „Wenn $12|a$, dann auch $3|a$“ für alle $a\in \mathbb{N}$.
• Schluss auf eine Allaussage
  Wenn für ein beliebiges Element a einer Grundmenge die Aussage A(a) wahr ist, so ist die Aussage „Für alle x gilt A(x)“ wahr.
  Beispiel: Wenn man gezeigt hat, dass der Lehrsatz des PYTHAGORAS für ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck gilt, dann gilt er für alle rechtwinkligen Dreiecke.
• Regel der Kontraposition
  $A\Rightarrow B\iff \neg B\Rightarrow \neg A$
  Wenn die Aussage „Wenn A, dann B“ wahr ist, so ist auch „Wenn nicht B, dann nicht A“ eine wahre Aussage.
  Beispiel: Aus der Gültigkeit von „Wenn zwei Dreiecke in zwei Winkeln übereinstimmen, dann sind sie zueinander ähnlich“ folgt die Gültigkeit von „Wenn zwei Dreiecke nicht zueinander ähnlich sind, dann stimmen sie auch nicht in zwei Winkeln überein“.