Gleichungen, bei denen von der Variablen (Unbekannten) direkt oder indirekt der absolute Betrag angegeben ist, sind weder der Gruppe der algebraischen Gleichungen noch der Gruppe der transzendenten Gleichungen zuzuordnen.
Der absolute Betrag einer Zahl a (geschrieben: ) ist bekanntlich gleich a, falls a positiv oder gleich null ist, und gleich –a, falls a negativ ist:
Damit ist der absolute Betrag einer Zahl niemals negativ.
Die Gleichung hat für die Lösungen für die Lösung und für keine Lösung:
Die Gleichung hat somit die Lösungen
Generell muss man zum Lösen von Gleichungen mit Beträgen Fallunterscheidung en vornehmen, was nachfolgend an einigen Beispielen erläutert werden soll.
Wir betrachten als lineare Gleichungen mit absoluten Beträgen im Folgenden Gleichungen des Typs Beim Lösen sind folgende Fälle zu unterscheiden:
Die Gleichung hat danach die Lösungen und damit die Lösungsmenge
Eine lineare Gleichung mit absoluten Beträgen kann also zwei Lösungen haben.
Als quadratische Gleichungen mit absoluten Beträgen sollen Gleichungen der Form untersucht werden. Beim Lösen sind folgende Fälle zu unterscheiden:
Beispiel: Es sind die Lösungen der Gleichung zu ermitteln.
Es sind folgende Fälle zu unterscheiden:
Die Lösungsmenge der Gleichung ist damit Es existieren genau drei Lösungen.
Die oben allgemein geführten Betrachtungen zeigen, dass eine quadratische Gleichung mit absoluten Beträgen maximal vier Lösungen haben kann. Es sind aber auch Fälle möglich, bei denen es keine Lösung gibt, oder solche mit einer Lösung, mit zwei oder mit drei Lösungen.
Anmerkung: Die aus dem Fundamentalsatz der Algebra folgende Aussage, wonach eine ganzrationale Gleichung n-ten Grades im Bereich der reellen Zahlen höchstens (im Bereich der komplexen Zahlen genau) n Lösungen hat, gilt also nicht für entsprechende Gleichungen mit absoluten Beträgen.
Die Beispiele zeigen, dass man Gleichungen mit Beträgen durch Fallunterscheidungen auf „normale“ Gleichungen zurückführen kann. Auf diese lassen sich dann gegebenenfalls die bekannten Lösungsverfahren oder -strategien anwenden.
Da bei den Lösungsverfahren nicht davon ausgegangen werden kann, dass ausschließlich äquivalente Umformungen vorgenommen wurden, sind generell Proben erforderlich.
Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.
Ein Angebot von