Berechnungen am Kreis

Umfang eines Kreises

Um den Umfang u eines Kreises mit dem Durchmesser d zu bestimmen, kann man von den Umfängen eines einbeschriebenen und eines umbeschriebenen Vielecks ausgehen, z. B. eines regelmäßigen Sechsecks (Bild 1). Der Umfang $u_{u6}$ des einbeschriebenen Sechsecks ($u_{u6}$= 3 · d) ist kleiner, der Umfang $u_{u6}$ des umbeschriebenen Sechsecks ($u_{u6}$ = 3,46 · d) ist größer als der Umfang des Kreises:
$3\cdot d<u<\mathrm{3,46}\cdot d$

Der Faktor, mit dem man d multiplizieren muss, um u zu erhalten, ist eine der wichtigsten und interessantesten mathematischen Konstanten. Sie wird mit $\pi$ bezeichnet:
$\pi$ = 3,141592653589793238…
Näherungsweise wird oft $\pi$= 3,14 verwendet.

Für den Umfang des Kreises gilt:
$u=\pi \cdot d=\pi \cdot 2r$

Flächeninhalt eines Kreises

Wenn man um und in einen Kreis jeweils ein Quadrat zeichnet, kann man mithilfe dieser Quadrate den Flächeninhalt eines Kreises einschachteln (Bild 3).

$\begin{array}{l}{A}_i=\frac{2r\cdot r}{2}\cdot 2A_{ä}=2r\cdot 2r\\ A_i=2r^2{A}_{ä}=4r^2\\ A_i<A_{Kreis}<A_{ä}\\ 2r^2<A_{Kreis}<4r^2\end{array}$

Der Flächeninhalt eines Kreises liegt also zwischen $2r^2$ und $4r^2$.

Flächeninhalt eines Kreisausschnitts (Kreissektors)

Der Teil einer Kreisfläche, der von zwei Radien r und einem Kreisbogen b begrenzt wird, heißt Kreisausschnitt (Bild 5).
Der Flächeninhalt A eines Kreisausschnitts ist proportional zu dem zugehörigen Mittelpunktswinkel $\alpha$, da sich bei Verdopplung von $\alpha$ auch A verdoppelt. Der Anteil des Flächeninhalts des Kreisausschnitts A am Flächeninhalt des Kreises $\pi \cdot r^2$ entspricht dem Anteil des Mittelpunktswinkels $\alpha$ am Vollwinkel $360°$.

In einem Kreis mit dem Radius r gilt für den Flächeninhalt A eines Kreisausschnitts mit dem dazugehörigen Mittelpunktswinkel $\alpha$:
$A=\pi \cdot r^2\cdot \frac{\alpha }{360°}$

Flächeninhalt eines Kreisrings

Für den Flächeninhalt eines Kreisrings gilt (Bild 7):
$A=\pi \cdot r_2{}^2-\pi \cdot r_1{}^2$