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- 7.1.1 Ebene, Linie, Punkt, Gerade, Strahl und Strecke
- Axiomensystem, euklidische Geometrie
Axiomensystem, euklidische Geometrie
Das Axiomensystem bei EUKLID und auch bei HILBERT ist nicht willkürlich gewählt worden, sondern eine Abstraktion aus der jahrtausendelangen Erfahrungswelt des Menschen. Die dazugehörige Geometrie ist daher die Geometrie unseres Anschauungsraumes. Bis zum Ende des 19. Jh. lag der gesamten Naturwissenschaft und Technik diese euklidische Geometrie zugrunde. Erst die moderne Naturwissenschaft hat gezeigt, dass man zu allgemeineren Geometrien übergehen muss, um die neuen Erkenntnisse richtig zu beschreiben.
Grundbegriffe für die Festlegung des euklidischen Raumes sind „Punkt“, „Gerade“ und „Ebene“ sowie der Begriff „Kongruenz“. Zum vollständigen und widerspruchsfreien Axiomsystem der euklid-hilbertschen Geometrie gehören folgende in Gruppen zusammengefasste Axiome der Inzidenz (Verknüpfung), Anordnung, Parallelität und Stetigkeit, deren Unabhängigkeit HILBERT nachweisen konnte:
- Axiome der Inzidenz (Verknüpfung)
- Axiome der Anordnung
- Axiome der Kongruenz
- Axiom der Parallelen – euklidisches Parallelenaxiom
- Axiom der Stetigkeit – archimedisches Axiom
- Axiome der Bewegung
Die Widerspruchsfreiheit sowie die Vollständigkeit und die Unabhängigkeit dieses Axiomensystems können bewiesen werden, was allerdings aufgrund der Vielzahl der Axioms kompliziert ist. So ist z. B. die Unabhängigkeit des Parallelenaxiom erst mit der Entwicklung der nichteuklidischen Geometrien gezeigt worden.
widerspruchsfreies Axiomensystem Unabhängigkeit Euklid euklidische Geometrie Axiomensystem archimedisches Axiom Hilbert euklid-hilbertsche Geometrie
Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.
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