Axiomatische Methode

In der kritischen Auseinandersetzung zur Entstehung der nichteuklidischen Geometrien, durch die die Auffassung von der Alleingültigkeit der Geometrie EUKLIDs und damit der genauen Beschreibung des realen physikalischen Raumes beseitigt wurde, hatte die axiomatische Methode zum Aufbau einer Theorie, die inzwischen Grundlage des Theorieaufbaus vieler Bereiche der modernen Mathematik ist, eine besondere Bedeutung.

Der Aufbau einer Theorie erfolgt aus einem Axiomensystem (Axiomatik). Das Aufbauprinzip verlangt eine folgerichtige Anordnung der Begriffe, d. h., dass ein Begriff A, der zur Definition eines Begriffes B benötigt wird, in der Hierarchie vor diesem steht. Begriffe, die am Anfang einer solchen Hierarchie stehen, heißen Grundbegriffe. Die wesentlichen Eigenschaften der Grundbegriffe sind in Aussagen, den Axiomen, beschrieben. Mit diesen Grundaussagen müssen dann alle weiteren Aussagen (Sätze) über Sachverhalte und Beziehungen dieser Theorie begründbar sein.

Ob eine wahre Aussage über Begriffe der Theorie ein Axiom oder ein zu beweisender Satz ist, hängt von der Stellung der Aussage im betrachteten Aufbau der Theorie ab.

$\begin{array}{l}\text{Grundbegriffe}\stackrel{Definition}{\iff }\text{Begriff A}\stackrel{Definition}{\iff }\text{Begriff B}\stackrel{Definition}{\iff }\mathrm{...}\\ \Downarrow \Uparrow \Uparrow \Downarrow \Uparrow \Downarrow \\ \text{Axiome }\stackrel{Beweis}{\iff }Satz\text{ I}\stackrel{Beweis}{\iff }SatzII\stackrel{Beweis}{\iff }\mathrm{...}\end{array}$

Axiome haben meist realen, experimentellen Charakter, d. h., dass sie gewisse einfache Eigenschaften der Realität widerspiegeln.
Axiomensysteme müssen widerspruchsfrei und vollständig sein, d. h., zum einen dürfen sich keine widersprechenden Aussagen ableiten lassen und zum anderen müssen sich ergebende Interpretationen zueinander in Beziehung bringen lassen. Des Weiteren ist man naturgemäß bestrebt mit möglichst wenigen Axiomen auszukommen. Auch gefordert wird die Unabhängigkeit der Axiome, d. h., kein Axiom darf sich als Satz aus den übrigen Axiomen ableiten lassen.

Der Aufbau der natürlichen Zahlen geht auf GIUSEPPE PEANO (1858 bis 1932) zurück, der 1892 zeigte, dass sich die Eigenschaften der natürlichen Zahlen aus den fünf nach ihm benannten peanoschen Axiomen ableiten lassen.

Im historischen Entstehungsprozess der Geometrie wurden relativ einfache, anschauliche Aussagen als Axiome gewählt, auf deren Grundlage sich die übrigen Sachverhalte beweisen ließen. Diese grundlegenden Aussagen („Postulate“ bei EUKLID) wurden als Axiome gewählt. Axiome sind also experimentellen Ursprungs, d. h. auch dass sie gewisse einfache, anschauliche Eigenschaften des realen Raumes widerspiegeln. Die Axiome sind somit grundsätzliche Aussagen über die Grundbegriffe einer Geometrie, die dem betrachteten geometrischen System ohne Beweis hinzugefügt werden und auf deren Basis alle weiteren Aussagen des betrachteten Systems bewiesen werden. Der deutsche Mathematiker DAVID HILBERT (1862 bis 1943) schuf 1899 das erste vollständige und widerspruchsfreie Axiomensystem für den euklidischen Raum, weitere folgten.