Zweite Regel von l'Hospital

Die im Folgenden betrachtete zweite Regel stellt eine Erweiterung für Grenzwerte mit $x\to \pm \infty$ dar. Sie lässt sich folgendermaßen formulieren:

• Es seien $u\left(x\right)undv\left(x\right)$ differenzierbare Funktionen mit $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }u\left(x\right)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }v\left(x\right)=0$ sowie $v^{\prime }\left(x\right)\ne 0$.
  Dann gilt:
  $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{u^{\prime }\left(x\right)}{v^{\prime }\left(x\right)}(falls\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{u^{\prime }\left(x\right)}{v^{\prime }\left(x\right)}existiert)$

Zum Beweis der zweiten Regel kann man den Grenzwert $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)}$ auf einen rechtsseitigen Grenzwert an der Stelle 0 zurückführen, indem man x durch $\frac{1}{z}(mitz\ne 0)$ ersetzt, d.h.:
$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)}=\underset{\begin{array}{l}z\to 0\\ z>0\end{array}}{\lim }\frac{u\left(\frac{1}{z}\right)}{v\left(\frac{1}{z}\right)}$

Wendet man jetzt auf der rechten Seite die erste Regel von L'HOSPITAL an, so erhält man:
$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)}=\underset{\begin{array}{l}z\to 0\\ z>0\end{array}}{\lim }\frac{u\left(\frac{1}{z}\right)}{v\left(\frac{1}{z}\right)}=\underset{\begin{array}{l}z\to 0\\ z>0\end{array}}{\lim }\frac{\left(-\frac{1}{z^2}\right)\cdot u^{\prime }\left(\frac{1}{z}\right)}{\left(-\frac{1}{z^2}\right)\cdot v^{\prime }\left(\frac{1}{z}\right)}=\underset{\begin{array}{l}z\to 0\\ z>0\end{array}}{\lim }\frac{u^{\prime }\left(\frac{1}{z}\right)}{v^{\prime }\left(\frac{1}{z}\right)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{u^{\prime }\left(x\right)}{v^{\prime }\left(x\right)}$

Wir betrachten speziell zur zweiten Regel einige weitere Beispiele.

• Beispiel 1: Es ist der Grenzwert von $f\left(x\right)=x\cdot \frac{1}{\sin x}$ für $x\to \infty$ zu bestimmen.

Wir formen dazu folgendermaßen um:
$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(x\cdot \sin \frac{1}{x}\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\sin \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}$

Für $x\to \infty$ entsteht der unbestimmte Ausdruck $\frac{0}{0}$. Anwenden der zweiten Regel von L'HOSPITAL ergibt dann:
$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(x\cdot \sin \frac{1}{x}\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\sin \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\left(-\frac{1}{x^2}\right)\cdot \cos \frac{1}{x}}{\left(-\frac{1}{x^2}\right)}=\underset{x\to \infty }{\lim }\cos \frac{1}{x}=1$

• Beispiel 2: $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\arctan x-\frac{\pi }{2}}{\frac{1}{x}}$

Es ist:
$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\arctan x-\frac{\pi }{2}}{\frac{1}{x}}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\frac{1}{1+x^2}}{-\frac{1}{x^2}}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{-x^2}{1+x^2}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{-1}{\frac{1}{x^2}+1}=-1$

Eine Anwendung der l'hospitalschen Regeln ist auch bei weiteren unbestimmten Ausdrücken möglich.

Ausdrücke der Form $\frac{\infty }{\infty }bzw.0\cdot \infty$ können im Allgemeinen in solche der Form $\frac{0}{0}$ umgeformt werden.

Andererseits kann man nachweisen, dass bei unbestimmten Ausdrücken der Form $\frac{\infty }{\infty }$ für $x\to x_{0}bzw.x\to \infty$ ebenso nach den l'hospitalschen Regeln verfahren werden kann. Oftmals empfiehlt sich auch eine Umformung der folgenden Art:
$\frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)}=\frac{\frac{1}{v\left(x\right)}}{\frac{1}{u\left(x\right)}}$

• Beispiel 3: $\underset{x\to \pi }{\lim }\frac{\frac{2}{x-\pi }}{\frac{x}{\sin x}}$

Die Grenzwertbestimmung würde unmittelbar auf einen unbestimmten Ausdruck der Form $\frac{\infty }{\infty }$ führen; Beseitigung des Doppelbruchs liefert
$\underset{x\to \pi }{\lim }\frac{2\sin x}{x\cdot \left(x-\pi \right)}$
und damit einen unbestimmten Ausdruck der Form $\frac{0}{0}$.

Die nun anwendbare erste Regel von L'HOSPITAL ergibt dann:
$\underset{x\to \pi }{\lim }\frac{2\sin x}{x\cdot \left(x-\pi \right)}=\underset{x\to \pi }{\lim }\frac{2\cos x}{2x-\pi }=-\frac{2}{\pi }$

• Beispiel 4: $\underset{x\to \infty }{\lim }\left[x\cdot \left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\right]$

Der Grenzübergang lieferte den unbestimmten Ausdruck $\infty \cdot 0$.

Erweitern mit $\sqrt{x^2+1}+x$ ergibt
$\underset{x\to \infty }{\lim }\left[x\cdot \left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\cdot \frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}+x}\right]=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x}{\sqrt{x^2+1}+x}$
und damit den Fall $\frac{\infty }{\infty }$.

Durch Kürzen mit x kann weiter umgeformt werden, und wir halten:
$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x}{\sqrt{x^2+1}+x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+1}=\frac{1}{2}$

• Beispiel 5: Der Grenzwert von $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ für $x\to \infty$ ist zu bestimmen.

Sowohl Zähler- als auch Nennerfunktion gehen für $x\to \infty$ ebenfalls gegen unendlich. Anwendung der zweiten Regel ergibt:
$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\ln x}{x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x}=0$

• Beispiel 6: $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^k}{e^x}$

Auch dieser Grenzwert führt auf $\frac{\infty }{\infty }$. In diesem Fall müssen Zähler- und Nennerfunktion k-mal abgeleitet werden, und man erhält:
$\begin{array}{l}\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^k}{e^x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{k\cdot x^{k-1}}{e^x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{k\cdot \left(k-1\right)\cdot x^{k-2}}{e^x}=\mathrm{...}\\ =\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{k!}{e^x}=0\end{array}$

• Beispiel 7: $\underset{\begin{array}{l}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\frac{1+x}{\sin x}$

In diesem Fall dürfen die Regeln von L'HOSPITAL nicht angewandt werden, da die Zählerfunktion einen endlichen von null verschiedenen Grenzwert hat.

Die fälschliche Anwendung führte zu
$\underset{\begin{array}{l}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\frac{1+x}{\sin x}=\underset{\begin{array}{l}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\frac{1}{-\cos x}=-1$,
die richtige Lösung ist jedoch $\underset{\begin{array}{l}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\frac{1+x}{\sin x}=\infty$.