- Lexikon
- Mathematik Abitur
- 4 Gleichungen und Gleichungssysteme
- 4.7 Lineare Gleichungssysteme
- 4.7.3 Determinanten; Regel von Cramer
- Zwei- und dreireihige Determinanten
Das Schema soll im Folgenden an einfachen Beispielen für gezeigt werden.
Gegeben sei die Matrix
Dann erhält man als Wert der Determinante:
Die Elemente liegen auf der Hauptdiagonalen, die Elemente auf der Nebendiagonalen.
Für sei die Matrix gegeben.
Eine Möglichkeit, eine dreireihige Determinante zu berechnen, bietet die Regel von SARRUS :
Diese Regel lässt sich mithilfe des folgenden Schemas merken.
Berechnung des Wertes einer dreireihigen Determinante mithilfe der Regel von SARRUS
Die beiden ersten Spalten werden der Determinante hinzugefügt, und dann wird jeweils über die Diagonalen multipliziert. Die Produkte auf den von links oben nach rechts unten führenden Diagonalen erhalten ein positives Vorzeichen, die von links unten nach rechts oben ein negatives.
Während die Regel von SARRUS für nicht mehr angewendet werden kann, ist es möglich, die Berechnung einer Determinante der Ordnung n auf die Berechnung von Unterdeterminanten der Ordnung zurückzuführen.
Dieses auf dem Entwicklungssatz von LAPLACE beruhende Prinzip soll im Folgenden für den Fall schrittweise erläutert werden:
Begonnen wird das Verfahren mit der Auswahl einer beliebigen Zeile oder Spalte der Matrix A (hier zur Demonstration: der ersten Zeile).
Zu jedem Element der ausgewählten Zeile oder Spalte (hier: ) gehört jeweils eine Unterdeterminante .
Diese wird berechnet, indem aus A die i-te Zeile und die j-te Spalte entfernt werden und von der verbleibenden Matrix die Determinante berechnet wird.
Diese so erhaltenen Unterdeterminanten sind dann mit den Faktoren zu multiplizieren.
Zur Berechnung von sind diese entlang der ausgewählten Zeile bzw. Spalte gebildeten Produkte aufzusummieren.
Bei Entwicklung von A nach der ersten Zeile ergibt sich im Falle einer dreireihigen Matrix demzufolge:
Abschließend seien noch einige Regeln für das Rechnen mit Determinanten angegeben:
Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.
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