Zufällige Ereignisse

Dies soll im Folgenden anhand verschiedener Beispiele verdeutlicht werden.

  1. Zufallsexperiment 1: Einmaliges Werfen eines Würfels
    Ω = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }
    E r e i g n i s A = { D i e g e w ü r f e l t e A u g e n z a h l i s t u n g e r a d e . } = { 1 ; 3 ; 5 }
  2. Zufallsexperiment 2: Zweimaliges Werfen eines Tetraeders
    Ω = { ( t 1 ; t 2 ) : t 1 , t 2 { 1 ; 2 ; 3 ; 4 } }
    E r e i g n i s B = { K e i n e d e r g e w ü r f e l t e n A u g e n z a h l e n i s t u n g e r a d e . } = { ( 2 ; 2 ) , ( 2 ; 4 ) , ( 4 ; 2 ) , ( 4 ; 4 ) }
  3. Zufallsexperiment 3: Zehnmaliges Werfen eines Tetraeders
    Ω = { ( t 1 ; t 2 ; ... ; t 10 ) : t 1 , t 2 , ..., t 10 { 1 ; 2 ; 3 ; 4 } }
    E r e i g n i s C = { J e d e d e r e r s t e n f ü n f g e w ü r f e l t e n A u g e n z a h l e n i s t u n g e r a d e . } = { ( t 1 ; t 2 ; ... ; t 10 ) Ω : t 1 , t 2 , ..., t 5 { 1 ; 3 } }

Anmerkung: Manchmal werden in der Literatur auch nur die Ereignisse „zufällig“ genannt, die weder sicher noch unmöglich sind.

Stellt sich bei einem Zufallsexperiment mit der Ergebnismenge Ω das Ergebnis e mit der Eigenschaft A ein, so sagt man, dass Ereignis A tritt ein.

Ein Ereignis A tritt also ein, wenn eines seiner Ergebnisse e ( e A ) eintritt. Tritt ein Ergebnis e ( e Ω ) ein, so treten alle diejenigen Ereignisse ein, die eine Teilmenge von Ω sind und e enthalten.

Beispiel: Es sei Ω = { 0 ; 1 ; 2 } . Tritt das Ergebnis 1 ein, so treten die Ereignisse { 1 } , { 0 ; 1 } , { 1 ; 2 } und Ω ein.

Die Menge aller Teilmengen einer endlichen oder abzählbar unendlichen Ergebnismenge Ω eines Zufallsexperiments nennt man Ereignisraum und bezeichnet sie mit 2 Ω (Potenzmenge von Ω ).
Die Potenzmenge 2 Ω umfasst 2 | Ω | Ereignisse.

Beispiel: Es sei Ω = { 0 ; 1 ; 2 } .
2 Ω = { , { 0 } , { 1 } , { 2 } , { 0 ; 1 } , { 0 ; 2 } , { 1 ; 2 } , { 0 ; 1 ; 2 } } | 2 Ω | = 2 | Ω | = 2 3 = 8

Spezielle Ereignisse

  • Die leere Menge heißt unmögliches Ereignis und es gilt:
    P ( ) = 0
  • Die Ergebnismenge Ω heißt sicheres Ereignis und es gilt:
    P ( Ω ) = 1
  • Ereignisse { e } , die genau ein Ergebnis aus Ω enthalten, heißen atomare Ereignisse oder auch Elementarereignisse.

Jeder Ereignisraum 2 Ω enthält genau | Ω | atomare Ereignisse.

Beispiel: Es sei Ω = { 0 ; 1 ; 2 } .
Dann gehören genau die drei atomaren Ereignisse { 0 } , { 1 } u n d { 2 } zu 2 Ω .

Anmerkung: In Literatur und Praxis wird manchmal nicht sauber zwischen Ergebnis e und atomarem Ereignis { e } unterschieden.

  • Das Gegenereignis (komplementäre Ereignis, entgegengesetzte Ereignis) A ¯ (lies: A quer) tritt genau dann ein, wenn A nicht eintritt.

Es gilt:
A A ¯ = Ω A A ¯ =   

Beispiel: Es sei Ω = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 } .
A = { 1 ; 3 ; 4 } A ¯ = { 0 ; 2 }

  • Die Ereignisse A , B Ω heißen unvereinbar (oder mit dem Begriff der Mengentheorie: disjunkt) genau dann, wenn A B = gilt.

Beispiel: Es sei Ω = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 } .
A = { 1 ; 2 } , B = { 0 ; 3 } A B = A u n d B sin d u n v e r e i n b a r .
C = { 1 ; 2 } , D = { 2 ; 4 } C D C u n d D sin d n i c h t u n v e r e i n b a r .

Gilt für die paarweise unvereinbaren Ereignisse A 1 , A 2 , ..., A n Ω die Gleichung A 1 A 2 ... A n = Ω , so bilden sie eine Zerlegung von Ω .

Bild

  • Zwei Ereignisse A , B Ω m i t P ( A ) > 0 u n d P ( B ) > 0 heißen (stochastisch) unabhängig voneinander, wenn der Multiplikationssatz P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) gilt.

Beispiel: Wir betrachten folgende Elementarereignisse mit den in der folgenden Tabelle angegebenen Wahrscheinlichkeiten:

e1234
P ( { e } ) 0,20,30,20,3

Es gilt:
A = { 1 ; 2 } P ( A ) = 0,2 + 0,3 = 0,5 B = { 2 ; 4 } P ( B ) = 0,3 + 0,3 = 0,6 P ( A B ) = P ( { 2 } ) = 0,3 = P ( A ) P ( B )

Damit sind A und B voneinander unabhängige Ereignisse.

  • Drei Ereignisse A , B , C Ω mit positiver Wahrscheinlichkeit heißen paarweise (stochastisch) unabhängig, wenn P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) , P ( A C ) = P ( A ) P ( C ) und P ( B C ) = P ( B ) P ( C ) gilt.
  • Drei Ereignisse A , B , C Ω heißen (stochastisch) unabhängig, wenn sie sowohl paarweise (stochastisch) unabhängig sind als auch der Gleichung P ( A B C ) = P ( A ) P ( B ) P ( C ) genügen.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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