Zufällige Ereignisse

Dies soll im Folgenden anhand verschiedener Beispiele verdeutlicht werden.

1. Zufallsexperiment 1: Einmaliges Werfen eines Würfels
   $\Omega =\left\{1;2;3;4;5;6\right\}$
   $\begin{array}{c}EreignisA=\left\{DiegewürfelteAugenzahlistungerade.\right\}\\ =\left\{1;3;5\right\}\end{array}$
2. Zufallsexperiment 2: Zweimaliges Werfen eines Tetraeders
   $\Omega =\left\{\left(t_1;t_2\right)\text{:}{t}_1,t_2\in \left\{1;2;3;4\right\}\right\}$
   $\begin{array}{c}EreignisB=\left\{KeinedergewürfeltenAugenzahlenistungerade.\right\}\\ =\left\{\left(2;2\right),\left(2;4\right),\left(4;2\right),\left(4;4\right)\right\}\end{array}$
3. Zufallsexperiment 3: Zehnmaliges Werfen eines Tetraeders
   $\Omega =\left\{\left(t_1;t_2;\mathrm{...};t_{10}\right)\text{:}{t}_1,t_2,\mathrm{...,}{t}_{10}\in \left\{1;2;3;4\right\}\right\}$
   $\begin{array}{c}EreignisC=\left\{JededererstenfünfgewürfeltenAugenzahlenistungerade.\right\}\\ =\left\{\left(t_1;t_2;\mathrm{...};t_{10}\right)\in \Omega \text{:}{t}_1,t_2,\mathrm{...,}{t}_5\in \left\{1;3\right\}\right\}\end{array}$

Anmerkung: Manchmal werden in der Literatur auch nur die Ereignisse „zufällig“ genannt, die weder sicher noch unmöglich sind.

Stellt sich bei einem Zufallsexperiment mit der Ergebnismenge $\Omega$ das Ergebnis e mit der Eigenschaft A ein, so sagt man, dass Ereignis A tritt ein.

Ein Ereignis A tritt also ein, wenn eines seiner Ergebnisse e $\left(e\in A\right)$ eintritt. Tritt ein Ergebnis e $\left(e\in \Omega \right)$ ein, so treten alle diejenigen Ereignisse ein, die eine Teilmenge von $\Omega$ sind und e enthalten.

Beispiel: Es sei $\Omega =\left\{0;1;2\right\}$. Tritt das Ergebnis 1 ein, so treten die Ereignisse $\left\{1\right\},\left\{0;1\right\},\left\{1;2\right\}$ und $\Omega$ ein.

Die Menge aller Teilmengen einer endlichen oder abzählbar unendlichen Ergebnismenge $\Omega$ eines Zufallsexperiments nennt man Ereignisraum und bezeichnet sie mit $2^{\Omega }$ (Potenzmenge von $\Omega$ ).
Die Potenzmenge $2^{\Omega }$ umfasst $2^{\left|\Omega \right|}$ Ereignisse.

Beispiel: Es sei $\Omega =\left\{0;1;2\right\}$.
$\begin{array}{l}\Rightarrow 2^{\Omega }=\left\{\varnothing ,\left\{0\right\},\left\{1\right\},\left\{2\right\},\left\{0;1\right\},\left\{0;2\right\},\left\{1;2\right\},\left\{0;1;2\right\}\right\}\\ \left|2^{\Omega }\right|=2^{\left|\Omega \right|}=2^3=8\end{array}$

Spezielle Ereignisse

• Die leere Menge $\varnothing$ heißt unmögliches Ereignis und es gilt:
  $P(\varnothing )=0$
• Die Ergebnismenge $\Omega$ heißt sicheres Ereignis und es gilt:
  $P\left(\Omega \right)=1$
• Ereignisse $\left\{e\right\}$, die genau ein Ergebnis aus $\Omega$ enthalten, heißen atomare Ereignisse oder auch Elementarereignisse.

Jeder Ereignisraum $2^{\Omega }$ enthält genau $\left|\Omega \right|$ atomare Ereignisse.

Beispiel: Es sei $\Omega =\left\{0;1;2\right\}$.
Dann gehören genau die drei atomaren Ereignisse $\left\{0\right\},\left\{1\right\}und\left\{2\right\}$ zu $2^{\Omega }$.

Anmerkung: In Literatur und Praxis wird manchmal nicht sauber zwischen Ergebnis e und atomarem Ereignis $\left\{e\right\}$ unterschieden.

• Das Gegenereignis (komplementäre Ereignis, entgegengesetzte Ereignis) $\overline{A}$ (lies: A quer) tritt genau dann ein, wenn A nicht eintritt.

Es gilt:
$A\cup \overline{A}=\Omega A\cap \overline{A}=\varnothing$

Beispiel: Es sei $\Omega =\left\{0;1;2;3;4\right\}$.
$A=\left\{1;3;4\right\}\Rightarrow \overline{A}=\left\{0;2\right\}$

• Die Ereignisse $A,B\subseteq \Omega$ heißen unvereinbar (oder mit dem Begriff der Mengentheorie: disjunkt) genau dann, wenn $A\cap B=\varnothing$ gilt.

Beispiel: Es sei $\Omega =\left\{0;1;2;3;4\right\}$.
$\begin{array}{l}A=\left\{1;2\right\},B=\left\{0;3\right\}\\ \Rightarrow A\cap B=\varnothing \Rightarrow AundB\sin dunvereinbar.\end{array}$
$\begin{array}{l}C=\left\{1;2\right\},D=\left\{2;4\right\}\\ \Rightarrow C\cap D\ne \varnothing \Rightarrow CundD\sin dnichtunvereinbar.\end{array}$

Gilt für die paarweise unvereinbaren Ereignisse $A_1,A_2,\mathrm{...,}{A}_n\subseteq \Omega$ die Gleichung $A_1\cup A_2\cup \mathrm{...}\cup A_n=\Omega$, so bilden sie eine Zerlegung von $\Omega$.

• Zwei Ereignisse $A,B\subseteq \Omega mitP\left(A\right)>0undP\left(B\right)>0$ heißen (stochastisch) unabhängig voneinander, wenn der Multiplikationssatz $P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)$ gilt.

Beispiel: Wir betrachten folgende Elementarereignisse mit den in der folgenden Tabelle angegebenen Wahrscheinlichkeiten:

Es gilt:
$\begin{array}{l}A=\left\{1;2\right\}\Rightarrow P\left(A\right)=\mathrm{0,2}+\mathrm{0,3}=\mathrm{0,5}\\ B=\left\{2;4\right\}\Rightarrow P\left(B\right)=\mathrm{0,3}+\mathrm{0,3}=\mathrm{0,6}\\ P\left(A\cap B\right)=P\left(\left\{2\right\}\right)=\mathrm{0,3}=P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)\end{array}$

Damit sind A und B voneinander unabhängige Ereignisse.

• Drei Ereignisse $A,B,C\subseteq \Omega$ mit positiver Wahrscheinlichkeit heißen paarweise (stochastisch) unabhängig, wenn $P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)$, $P\left(A\cap C\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(C\right)$ und $P\left(B\cap C\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(C\right)$ gilt.
• Drei Ereignisse $A,B,C\subseteq \Omega$ heißen (stochastisch) unabhängig, wenn sie sowohl paarweise (stochastisch) unabhängig sind als auch der Gleichung $P\left(A\cap B\cap C\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)\cdot P\left(C\right)$ genügen.