Summenregel der Differenzialrechnung

Die Summenregel der Differenzialrechnung besagt das Folgende:

• Sind zwei Funktionen u und v in $x_0$ differenzierbar, so ist an dieser Stelle auch die Summenfunktion s mit $s\left(x\right)=u\left(x\right)+v\left(x\right)$ differenzierbar. Es gilt:
  $s\text{'}\left(x_0\right)=u\text{'}\left(x_0\right)+v\text{'}\left(x_0\right)$

Da diese Aussage für ein beliebiges $x_0$ aus dem Bereich gilt, in dem sowohl u als auch v differenzierbar sind, kann man vereinfacht schreiben:
$s=u+v\Rightarrow s\text{'}=u\text{'}+v\text{'}$
Kurz: Eine Summenfunktion kann summandenweise differenziert werden.

Beweis der Summenregel

Es seien u und v zwei in $x_0$ differenzierbare Funktionen und es sei s die Summe der Funktionen u und v mit $s\left(x\right)=u\left(x\right)+v\left(x\right)$ für alle $x\in ℝ$.

Wir berechnen den Differenzenquotienten von s an der Stelle $x_0$:
$\begin{array}{c}d\left(x\right)=\frac{s\left(x\right)-s\left(x_0\right)}{x-x_0}=\frac{\left[u\left(x\right)+v\left(x\right)\right]-\left[u\left(x_0\right)+v\left(x_0\right)\right]}{x-x_0}\\ =\frac{\left[u\left(x\right)-u\left(x_0\right)\right]+\left[v\left(x\right)-v\left(x_0\right)\right]}{x-x_0}\\ =\frac{u\left(x\right)-u\left(x_0\right)}{x-x_0}+\frac{v\left(x\right)-v\left(x_0\right)}{x-x_0}\left(jeweilsx\ne x_0\right)\end{array}$

Mithilfe der Sätze über den Grenzwert der Summe zweier Funktionen ergibt sich
$\underset{x\to x_0}{\lim }d\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{u\left(x\right)-u\left(x_0\right)}{x-x_0}+\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{v\left(x\right)-v\left(x_0\right)}{x-x_0}$

und damit
$s\text{'}\left(x_0\right)=u\text{'}\left(x_0\right)+v\text{'}\left(x_0\right).w.z.b.w$.

• Beispiel: Es ist die Ableitung der Funktion $f\left(x\right)=x^3+x^2\cdot \sqrt[3]{x}-\frac{3}{\sqrt{x}}\left(x\in ℝ;x>0\right)$ zu bilden.

Die Funktion hat die Darstellung $f\left(x\right)=x^3+x^{\frac{7}{3}}-3x^{-\frac{1}{2}}$ und damit folgende Ableitung:

$\begin{array}{c}f\text{'}\left(x\right)=3x^2+\frac{7}{3}{x}^{\frac{4}{3}}+\frac{3}{2}{x}^{-\frac{3}{2}}\\ =3x^2+\frac{7}{3}x\cdot \sqrt[3]{x}+\frac{3}{2x\sqrt{x}}\end{array}$

Erweiterung der Summenregel

• Die obige Summenregel gilt auch für n Summanden mit $n>2$, also für Funktionen der Form $s\left(x\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_i\left(x\right)}$.

Zum Beweis dieser Verallgemeinerung verwenden wir das Beweisverfahren der vollständigen Induktion:

1. Induktionsanfang
   Die Regel ist gültig für $n=2$, wie oben gezeigt wurde.
    
2. Induktionsschluss
   I. Induktionsvoraussetzung:
   $A\left(k\right)\text{:}{s}_k\text{'}\left(x_0\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^k{u}_i\text{'}\left(x_0\right)}$
   II. Induktionsbehauptung:
   $A\left(k+1\right)\text{:}{s}_{k+1}\text{'}\left(x_0\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^{k+1}{u}_i\text{'}\left(x_0\right)}$
   III. Induktionsbeweis $\left[A\left(k\right)\Rightarrow A\left(k+1\right)\right]:$
   $\begin{array}{c}{s}_{k+1}\left(x_0\right)=s_k\left(x_0\right)+u_{k+1}\left(x_0\right)\\ s_{k+1}\text{'}\left(x_0\right)=s_k\text{'}\left(x_0\right)+u_{k+1}\text{'}\left(x_0\right)(nachobigemSatz)\\ ={\displaystyle \sum _{i=1}^k{u}_i\text{'}\left(x_0\right)}+u_{k+1}\text{'}\left(x_0\right)(nachInduktionsvoraussetzung)\\ ={\displaystyle \sum _{i=1}^{k+1}{u}_i\text{'}\left(x_0\right)}\end{array}$

Also ist $s\left(x\right)$ differenzierbar in $x_0$ und es gilt:
$s\text{'}\left(x_0\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_i\text{'}\left(x_0\right)}$

Aus Potenz- und Summenregel ergibt sich eine wichtige Schlussfolgerung für die Ableitung ganzrationaler Funktionen:

• Jede ganzrationale Funktion $f\left(x\right)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\mathrm{...}+a_{1}x+a_0$ ist an jeder Stelle $x\in ℝ$ differenzierbar und besitzt die Ableitungsfunktion $f\text{'}\left(x\right)=n{a}_n{x}^{n-1}+\left(n-1\right)a_{n-1}{x}^{n-2}+\mathrm{...}+a_1$.
  Die Ableitungsfunktion $f\text{'}$ ist also wieder eine ganzrationale Funktion mit einem gegenüber f um 1 niedrigeren Grad.