Skalarprodukt zweier Vektoren

Beispiel 1: Hebt man einen Gegenstand mit der Gewichtskraft $F_G$ z. B. vom Fußboden auf einen Tisch, so wird mechanische Arbeit verrichtet.
Diese Arbeit berechnet sich nach der bekannten Formel $W=F_s\cdot s$, wobei $F_s=\left|{\overrightarrow{F}}_s\right|$ der Betrag der vektoriellen Größe Kraft ist, die in Richtung des Weges $\overrightarrow{s}$ wirkt, und $s=\left|\overrightarrow{s}\right|$ die Länge dieses Weges angibt.
Im vorliegenden Fall haben ${\overrightarrow{F}}_s$ und $\overrightarrow{s}$ dieselbe Richtung.
Im Gegensatz zu den vektoriellen Größen Kraft und Weg lässt sich der mechanischen Arbeit keine Richtung zuordnen – es handelt sich hier um eine skalare Größe.

Ist $\alpha$ der Winkel zwischen den Kräften ${\overrightarrow{F}}_T$ und $F_s$, so gilt nach trigonometrischen Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck ABC für die Größen dieser Kräfte $\left|{\overrightarrow{F}}_s\right|=\left|{\overrightarrow{F}}_T\right|\cdot \cos \alpha$.
Für die mechanische Arbeit erhalten wir also insgesamt $W=\left|{\overrightarrow{F}}_T\right|\cdot \left|\overrightarrow{s}\right|\cos \alpha$.
(Diese Formel gilt auch für das obige Beispiel, da dort $\alpha$ = 0° und damit cos $\alpha$ = 1 ist.)

Auf der linken Seite der obigen Gleichung steht mit W eine skalare, also nichtgerichtete Größe und auf der rechten Seite das Produkt aus den Beträgen zweier gerichteter Größen und dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels. Ausgehend davon definieren wir nun ein Produkt zweier Vektoren. Weil das Resultat dieses Produktes ein Skalar, also eine reelle Zahl ist, heißt dieses Produkt Skalarprodukt.

• Definition: Sind $\overrightarrow{a}und\overrightarrow{b}$ zwei Vektoren, so nennt man $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot \left|\overrightarrow{b}\right|\cdot \cos \alpha$ das Skalarprodukt der Vektoren $\overrightarrow{a}und\overrightarrow{b}$, wobei $\alpha$ den von $\overrightarrow{a}und\overrightarrow{b}$ eingeschlossenen Winkel bezeichnet.