Der Beweis für die Richtigkeit der Schlussregeln könnte jeweils mit den Wahrheitswertetafeln für die verschiedenen logischen Operationen geführt werden. Dabei muss man stets alle möglichen Belegungen der Teilaussagen mit „wahr“ (w) und „falsch“ (f) berücksichtigen.
Werden zwei Teilaussagen miteinander verknüpft, so hat die Wahrheitswertetafel Zeilen, im Falle der Verknüpfung von drei Teilaussagen sind es Zeilen (s. nachstehende Abbildung).
Wenn unter gegebenen Voraussetzungen die Aussage „Wenn A, so B“ gilt und die Aussage A wahr ist, dann gilt unter diesen Voraussetzungen auch die Aussage B.
Kurzform der Abtrennungsregel:
Beweis (mithilfe der Wahrheitswertetafel):
Gilt diese Implikation (auf deren Beweis hier verzichtet wird), so folgt aus der wahren Aussage „Die Quersumme von 12510 (nämlich 9) ist durch 9 teilbar“ auch die Wahrheit der Aussage „12510 ist durch 9 teilbar“.
Wenn unter gegebenen Voraussetzungen die Aussagen „Wenn A, so B“ und „Wenn B, so C“ wahr sind, dann gilt unter diesen Voraussetzungen auch die Aussage „Wenn A, so C“.
Kurzform des Kettenschlusses:
Beweis (mithilfe der Wahrheitswertetafel):
Wenn für ein beliebiges a die Aussage wahr ist, so ist die Allaussage „Für jedes (alle) x gilt “ wahr.
Im Folgenden geben wir ein Beispiel für den Schluss auf eine Allaussage an:
Wenn die Aussagenverbindung „Wenn A, so B“ wahr ist, so ist auch „Wenn nicht B, so nicht A“ wahr (und umgekehrt).
Kurzform der Regel der Kontraposition:
Beweis (mithilfe der Wahrheitswertetafel):
Manchmal lässt sich die Kontraposition eines Satzes leichter beweisen als der eigentliche Satz. Das ist oft der Fall, wenn die Umkehrung eines Satzes bewiesen werden soll (vgl. das nachfolgende Beispiel zum Äquivalenzschluss).
Wenn unter gegebenen Voraussetzungen die Aussage „A oder B“ gilt und zudem die Aussagen „Wenn A, so C“ und „Wenn B, so C“ gültig sind, dann gilt die Aussage C.
Kurzform der Regel der Fallunterscheidung:
Der Beweis dieser Regel kann wiederum mithilfe einer Wahrheitswertetafel erfolgen.
Für eine Beweisführung mittels Fallunterscheidung bedeutet das:
Trifft zu und kann man zeigen, dass erstens C aus A folgt und zweitens C aus B folgt, so ist C auch einen Folge aus der gesamten Disjunktion.
Analog ist für n Disjunktionen zu verfahren.
Was das im Falle zweier Alternativen bedeutet, soll am Beispiel des folgenden Satzes demonstriert werden:
Beweis: Die Aussage „Eine natürliche Zahl a ist nicht durch 3 teilbar“ ist gleichbedeutend mit folgender Disjunktion:
„a lässt bei Division durch 3 den Rest 1“ (Aussage A) oder „a lässt bei Division durch 3 den Rest 2“ (Aussage B).
Fall 1 (Aussage A): | Fall 2 (Aussage B): |
lässt bei Division durch 3 den Rest 1. | lässt bei Division durch 3 den Rest 1. |
ist wahr. | ist wahr. |
Wenn die Fallunterscheidung A oder B gilt und die Implikationen und wahr sind, dann ist C wahr.
Wenn unter gegebenen Voraussetzungen die Aussage „Wenn A, so B“ und auch die Aussage „Wenn B, so A“ wahr ist, so gilt „A genau dann, wenn B“ (und umgekehrt).
Kurzform des Äquivalenzschlusses:
Das heißt:
Es sind also zwei Beweise zu führen.
Beweis für :
a ist eine gerade Zahl, d.h. . Dann folgt
,
wobei wieder eine natürliche Zahl und damit eine gerade natürliche Zahl ist.
Beweis für (über die Kontraposition ):
, d.h. . Daraus folgt
,
also ist eine ungerade natürliche Zahl .
w.z.b.w.
Sowohl als auch (hier als Kontraposition ) sind wahre Aussagen. Damit gilt dies auch für die Äquivalenz .
Weitere Beispiele für Äquivalenzen (bzw. Tautologien) wären die oben angeführte Regel der Kontraposition, die nachfolgende Aussage zur doppelten Verneinung sowie
Beweise (mithilfe der Wahrheitswertetafel):
Wenn die beiden Geraden einen Schnittpunkt besitzen sollen, so müssen dessen Koordinaten beide Gleichungen erfüllen. Das heißt, das folgende Gleichungssystem muss genau eine Lösung haben:
Da aber beispielsweise die Umformung zu dem Widerspruch führt, besitzt das Gleichungssystem keine Lösung. Die Aussage A ist also falsch und nach obiger Regel die Aussage „ : Die Geraden mit den Gleichungen und schneiden einander nicht“ demzufolge wahr.
Stand: 2010
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