René Descartes

Herkunft und Ausbildung

RENÉ DESCARTES (der Name wird auch als Des-Cartes bzw. in seiner latinisierten Form als CARTESIUS angegeben) wurde am 31.März 1596 in La Haye (heute heißt diese Stadt La Haye-Descartes) in der Nähe von Tours geboren. Sein Vater war Jurist und Berater des Königs, er war wohlhabend, gehörte dem Adelsstand an und übte mehrere Ämter in der Provinz aus.

Von 1604 bis 1612 erfuhr RENÉ DESCARTES an der Jesuitenschule von La Fléche eine gründliche und vielseitige Ausbildung, so auch in den „Mathematiken“ (Arithmetik und Geometrie). Er studierte u.a. die Werke von ARCHIMEDES und APOLLONIOS, aber auch die von FRANÇOISE VIETA. In dieser Zeit knüpfte er erste Beziehungen zu später berühmt gewordenen Mathematikern, wie etwa zu MARIN MERSENNE (1588 bis 1648) und BLAISE PASCAL (1623 bis 1662).

Nach dem Schulbesuch nahm DESCARTES in Poitiers ein Studium der Rechtswissenschaft auf. Für die Ausübung öffentlicher Ämter, die er anstrebte, war darüber hinaus eine militärische Laufbahn Voraussetzung. So trat DESCARTES zunächst bei MORITZ VON NASSAU, später bei MAXIMILIAN VON BAYERN in den Kriegsdienst und nahm bis 1621 am 30-jährigen Krieg (u.a. an der Schlacht am Weißen Berge bei Prag) teil. Anschließend bereiste er mehrere europäische Länder, sammelte Erfahrungen und Wissen und begann dann, sich intensiv mit Philosophie, Physik und Mathematik zu beschäftigen.

DESCARTES' Beitrag zur Entwicklung der analytischen Geometrie

Die bedeutendste Leistung, die DESCARTES – zeitgleich mit PIERRE DE FERMAT (1601 bis 1665), aber unabhängig von ihm und noch weiter entwickelt – vollbracht hat, besteht in der Schaffung der analytischen Geometrie, im Anhang des „Discours“ veröffentlicht.
Er schuf darin die beiden wesentlichen Grundlagen für dieses Gebiet:

1. In der Ebene werden ein Koordinatensystem und eine Einheitsstrecke festgelegt. Seine üblichste Form, bei der die Achsen gleich geteilt sind und zueinander senkrecht verlaufen, heißt nach ihm kartesisches Koordinatensystem. Auf diese Weise ließ sich nun jeder Punkt der Ebene durch ein Zahlenpaar (x; y) beschreiben.
2. Während man in der Antike unter Termen in der zweiten Potenz grundsätzlich Flächen und unter solchen in dritter Potenz entsprechend Körper verstand und deshalb auch vor der vierten Potenz zurückschreckte, werden jetzt unabhängig von der Dimension alle Terme als Zahlen begriffen und damit das bis dahin herrschende „Homogenitätsprinzip“ gebrochen. Bei und seit DESCARTES werden geometrische Kurven durch Gleichungen charakterisiert. Umgekehrt ergeben alle Zahlenpaare, die eine Gleichung erfüllen, jeweils einen Punkt und in ihrer Gesamtheit ein geometrisches Gebilde. Aus der Gleichung $y=x^2$ erhält man eine Parabel, und eine (bestimmte) Hyperbel wird durch die Gleichung $y=\frac{1}{x}$ beschrieben.

Kurz gesagt: Punktmengen und Gleichungen entsprechen einander. Die Geometrie wird mit der Algebra verbunden.

Damit wurde es möglich, geometrische Probleme rechnerisch zu lösen. Man kann z.B. mithilfe der analytischen Geometrie aus der Lage dreier Punkte den Flächeninhalt des durch diese Punkte bestimmten Dreiecks formelmäßig lösen, man kann rechnerisch die Lage des Umkreismittelpunktes bestimmen, man kann die Lage von Tangenten an verschiedene Kurven über Gleichungen ermitteln und man kann geometrische Sätze, wie beispielsweise den Satz von THALES, rechnerisch beweisen.

Zugleich damit fand DESCARTES eine Reihe von Vereinfachungen in der formalen Darstellung der Zusammenhänge. So geht es auf ihn zurück, wenn wir heute unbekannte Größen Variable mit den Buchstaben x, y und z bezeichnen und für bekannte (also Parameter) die Buchstaben a, b, c usw. benutzen. Er führte die Potenzschreibweise ein, ersetzte z.B. das bis dahin übliche „aa“ durch $a^2$ und schrieb ferner $x^3\text{, }{y}^5$ usw. Auch führte er den Querstrich über dem Radikanden ein, um auf diese Weise $\sqrt{4}\cdot 3$ und $\sqrt{4\cdot 3}$ zu unterscheiden, von ihm stammen Begriffe wie Grad der Gleichung und Koeffizient.

DESCARTES schuf gleichsam die Normalform von Gleichungen, bei der auf der rechten Seite stets 0 steht. (Die italienischen Mathematiker des Mittelalters unterschieden z.B. bei quadratischen Gleichungen zahlreiche Fälle und für etwa
$x^2+10x=56und{x}^2+15=8x$
gab es unterschiedliche Lösungsverfahren.) Das ermöglichte beim Lösen von Gleichungen ein einheitliches Vorgehen unabhängig von der Verteilung der Rechenzeichen.

An den Schluss seines Werkes setzte er folgende Zeilen:

Ich hoffe, dass unsere Enkel mir nicht nur für die Dinge Dank wissen werden, die ich hier auseinandergesetzt habe, sondern auch für diejenigen, die ich absichtlich übergangen habe, um ihnen das Vergnügen zu lassen, sie selbst zu finden.