Pierre de Fermat

Schaffung von Grundlagen der analytischen Geometrie

FERMAT beschäftigte sich mit einer ganzen Reihe von Teilgebieten der Mathematik. Er studierte die Werke der großen griechischen Mathematiker (wie etwa die von EUKLID, APOLLONIUS bzw. DIOPHANT) und bemühte sich, verloren gegangene Teile dieser Werke zu rekonstruieren. Darauf aufbauend und die Bezeichnungen von Größen durch Buchstaben nach VIETA nutzend, schuf er – fast zeitgleich mit DESCARTES – die Grundlagen der analytischen Geometrie, und zwar in seinem Werk „Ad locos planos et solidos isagoge“ (Einführung in die ebenen und körperlichen Örter).

Er zeigte darin, wie man geometrische Objekte durch Gleichungen beschreiben und geometrische Aufgaben rechnerisch lösen kann.
Beispielsweise wird durch die Gleichung
${\left(x-c\right)}^2+{\left(y-d\right)}^2=r^2$
ein Kreis beschrieben, der den Radius r und den Mittelpunkt
M(c; d) hat. Auf diese Weise lassen sich Schnittpunkte von Kurven rechnerisch ermitteln und bestimmte Eigenschaften von Figuren (wie etwa der Satz, dass sich die Seitenhalbierenden eines Dreiecks in einem Punkt und im Verhältnis 2:1 schneiden) beweisen. So wurde das Koordinatensystem zu einer Art geometrischem Rechenbrett.

In seinem Vorgehen benutzte FERMAT bereits Elemente der Differenzialrechnung (1628/29), wobei er Maxima und Minima (also größtmögliche und kleinstmögliche Werte) funktionaler Zusammenhänge ermittelte. Beispielsweise zeigte er, dass unter allen Rechtecken mit gegebenem Umfang das Quadrat den größten Flächeninhalt hat, und er ermittelte rechnerisch die Lage von Tangenten an Kurven.

FERMATS Beitrag zur Entwicklung der Stochastik

Gemeinsam mit BLAISE PASCAL (1623 bis 1662) legte FERMAT den Grundstein für die Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Obwohl es zu jener Zeit für solche Fragen auch bereits gesellschaftliche Bedürfnisse (Versorgungsprobleme, Versicherungen) gab, war der Ausgangspunkt doch kurios: Ein mit FERMAT und PASCAL befreundeter Adliger, der Chevalier DE MÉRÉ, der verarmt seinen Lebensunterhalt durch Glückspiele mit Würfeln bestritt und dafür immer neue Varianten erfand, bat die beiden Gelehrten, ihm die Chancen für einen Gewinn oder Verlust der jeweiligen Glücksspiele auszurechnen.
Zwei Beispiele seien dafür angeführt:

• Es wird 24-mal mit zwei Würfeln gewürfelt. Gewonnen wird, wenn wenigstens einmal ein Paar Fünfen fällt.
  (FERMAT zeigte, dass die Wahrscheinlichkeit, hierbei zu verlieren,${\left(\frac{35}{36}\right)}^{24}$ betrug, also größer als $\frac{1}{2}$ war und riet ab.)
• Zwei Spieler müssen eine Partie vorzeitig abbrechen. Dem einem fehlen noch zwei gewonnene Spiele, dem anderen drei zum Sieg. In welchem Verhältnis ist der Einsatz aufzuteilen?
  (FERMAT kam dabei – ebenso wie PASCAL – auf das Verhältnis 11:5.)

Zahlentheoretische Sätze

FERMATS Lieblingsdisziplin indes war die Zahlentheorie. Hier fand er zahlreiche interessante Zusammenhänge und Gesetze, u.a. die folgenden:

• Jede natürliche Zahl n ist als Summe von höchstens vier Quadraten darstellbar, z.B.:
  $\text{54}={\text{7}}^{\text{2}}+{\text{2}}^{\text{2}}+{\text{1}}^{\text{2}}$
• Jede Primzahl der Form 4n + 1 lässt sich eindeutig als Summe von zwei Quadraten schreiben, z.B.:
  $\text{5}={\text{2}}^{\text{2}}+{\text{1}}^{\text{2}};13=3^2+{\text{2}}^{\text{2}}$

FERMAT fand auch heraus, dass 343 eine Kubikzahl ist, bei der die Summe aller ihrer Teiler eine Quadratzahl ergibt:
$1+7+49+343=400={20}^2$

Oder er beschäftigte sich mit sogenannten „befreundeten Zahlen“. Zwei Zahlen heißen befreundet, wenn jede von ihnen gleich der Summe der echten Teiler der anderen ist. Ein Beispiel dafür sind die Zahlen 220 und 284.

Bei diesen zahlentheoretischen Untersuchungen unterliefen FERMAT auch Irrtümer. So glaubte er, entdeckt zu haben, dass der Term $2^{2^n}+1$ für alle natürlichen Zahlen n stets Primzahlen liefert.

Tatsächlich erhält man für n = 1, 2, 3 und 4 mit
$2^2+1=5;2^4+1=17;2^8+1=257und{2}^{16}+1=65537$
jeweils eine Primzahl. (Diese Zahlen sollten später bei der Frage der Konstruierbarkeit regelmäßiger n-Ecke mit Zirkel und Lineal eine Rolle spielen.)

$2^{32}+1$ ergibt 4294967297. LEONHARD EULER stellte später fest, dass diese Zahl durch 641 teilbar, also keine Primzahl ist.

Erst kurz vor der Jahrtausendwende (im Jahre 1994) wurde vom britischen Mathematiker ANDREW WILES (geb. 1953) ein vollständiger Beweis für diesen Satz von FERMAT der staunenden Fachwelt vorgelegt – das allerdings mit Mitteln, die FERMAT nicht zur Verfügung standen und zudem nur für Fachleute verständlich. So darf angenommen werden, dass sich FERMAT seinerzeit irrte, als er glaubte, einen einfachen Beweis gefunden zu haben.