Partialsummen von Zahlenfolgen

Für einige Folgen lassen sich relativ leicht Formeln zur Berechnung ihrer Partialsummen angeben.
Wir betrachten dazu nachstehend zwei Beispiele.

• Beispiel 1: $a_n=a_{n-1}+2;a_1=2$ bzw. $a_n=2n(n=\mathrm{1,}2;3;\mathrm{...})$

Man erkennt, dass die Partialsummen mit zunehmendem n immer größer werden und schließlich über alle Grenzen wachsen:

$\begin{array}{l}{s}_1=a_1=2\\ s_2=a_1+a_2=s_1+a_2=2+4=6\\ s_3=a_1+a_2+a_3=s_2+a_3=6+6=12\\ \mathrm{...}\\ s_n=a_1+a_2+\mathrm{...}+a_n=\frac{n}{2}(2+2n)=n^2+n\end{array}$

• Beispiel 2: $a_n=\frac{a_{n-1}}{2};a_1=1$ bzw. $a_n=\frac{1}{2^{n-1}}=2^{1-n}(n=\mathrm{1,}2;3;\mathrm{...})$

In diesem Beispiel werden die Partialsummen mit zunehmendem n zwar auch immer größer, bleiben aber (wie folgende Formel zeigt) stets unter dem Wert 2:

$\begin{array}{l}{s}_1=1;s_2=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}=\mathrm{1,5};s_3=\frac{3}{2}+\frac{1}{4}=\frac{7}{4}=\mathrm{1,75};\\ s_4=\frac{7}{4}+\frac{1}{8}=\frac{15}{8}=\mathrm{1,875};\mathrm{...}\\ s_n=2-\frac{1}{2^{n-1}}\end{array}$

Die immer weiter fortgesetzte Partialsumme einer (unendlichen) Zahlenfolge nennt man eine (unendliche) Reihe.