Nullfolgen

Im Folgenden soll für einige Zahlenfolgen nachgewiesen werden, dass sie den Grenzwert 0 haben.

• Die Folge $\left(a_n\right)=\left(\frac{1}{n}\right)$ ist eine Nullfolge.
  
  Beweis: Von einem bestimmten n an (d.h. für fast alle n) muss $\left|a_n-0\right|<\epsilon$ gelten.
  $\left|\frac{1}{n}-0\right|=\left|\frac{1}{n}\right|=\frac{1}{n}<\epsilon \Rightarrow n>\frac{1}{\epsilon }$
  (Wählt man beispielsweise $\epsilon =\mathrm{0,01}$, so muss $n>100$ sein, d.h., alle Glieder der Folge ab $a_{101}$ haben von 0 einen geringeren Abstand als 0,01, liegen also in der $\epsilon$-Umgebung von 0.)
   
• Jede Folge $\left(a_n\right)=\left(\frac{k}{n}\right)mitk\in ℝ$ (k beliebige reelle Zahl) ist eine Nullfolge.
  
  Der Beweis lässt sich analog dem obigen Beweis (bzw. mithilfe der Grenzwertsätze für Folgen) führen.
   
• Jede Folge $\left(a_n\right)=\left(\frac{k}{n^m}\right)mitk\in ℝundm\in \mathbb{N}$ ist eine Nullfolge.
  
  Beweis (mithilfe der Grenzwertsätze für Folgen):
  $\begin{array}{l}\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{k}{n^m}=k\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^m}=k\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n^{m-1}}\right)\\ =k\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^{m-1}}=k\cdot 0\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^{m-1}}=0\end{array}$
   
• Jede Folge $\left(a_n\right)=\left(\frac{n{}^u}{n^v}\right)mitu,v\in \mathbb{N}$ ist eine Nullfolge, wenn $u<v$ gilt.
  
  Beweis:
  $\begin{array}{l}\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n{}^u}{n^v}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^{u-v}}=0\\ (wegenv-u>0unddamit\left(v-u\right)\in \mathbb{N})\end{array}$
   
• Eine Folge $\left(a_n\right)=\frac{\left(b_n\right)}{\left(c_n\right)}$ ist eine Nullfolge, wenn die Bildungsgesetze für $\left(b_n\right)und\left(c_n\right)$ ganzrationale Funktionen (Polynome) von n sind und der Grad von $\left(c_n\right)$ größer als der Grad $\left(b_n\right)$ von ist.
  
  Beweis: Es sei $b_n=k_u{n}^u+k_{u-1}{n}^{u-1}+\mathrm{...}+k_{1}n+k_0$ und $c_n=r_v{n}^v+r_{v-1}{n}^{v-1}+\mathrm{...}+r_{1}n+r_0$ mit $v>u$. Dann gilt:
  $\underset{n\to \infty }{\lim }{c}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{k_u{n}^u+k_{u-1}{n}^{u-1}+\mathrm{...}+k_{1}n+k_0}{r_v{n}^v+r_{v-1}{n}^{v-1}+\mathrm{...}+r_{1}n+r_0}$
  Alle Glieder werden nun durch $n^v$ dividiert, dies ergibt (unter Nutzung der Grenzwertsätze):
  $\begin{array}{l}\underset{n\to \infty }{\lim }{c}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{k_u{n}^{u-v}+k_{u-1}{n}^{u-v-1}+\mathrm{...}+k_1{n}^{1-v}+k_0{n}^{-v}}{r_v+r_{v-1}{n}^{-1}+\mathrm{...}+r_1{n}^{1-v}+r_0{n}^{-v}}\\ =\frac{\underset{n\to \infty }{\lim }{k}_u{n}^{u-v}+\underset{n\to \infty }{\lim }{k}_{u-1}{n}^{u-v-1}+\mathrm{...}+\underset{n\to \infty }{\lim }{k}_1{n}^{1-v}+\underset{n\to \infty }{\lim }{k}_0{n}^{-v}}{\underset{n\to \infty }{\lim }{r}_v+\underset{n\to \infty }{\lim }{r}_{v-1}{n}^{-1}+\mathrm{...}+\underset{n\to \infty }{\lim }{r}_1{n}^{1-v}+\underset{n\to \infty }{\lim }{r}_0{n}^{-v}}\end{array}$
  Es ist $\underset{n\to \infty }{\lim }{r}_v=r_v$, und alle anderen Grenzwerte haben unter der Voraussetzung $v>u$ den Wert Null. Damit gilt:
  $\underset{n\to \infty }{\lim }{c}_n=\frac{0}{r_v}=0$
   
• Jede Folge $\left(a_n\right)=\left(\frac{1}{b^n}\right)$ ist eine Nullfolge, wenn $\left|b\right|>1$ gilt.
  
  Beweis: Von einem bestimmten n an (d.h. für fast alle n) muss gelten $\left|a_n-0\right|<\epsilon$.
  $\left|\frac{1}{b^n}-0\right|=\left|\frac{1}{b^n}\right|<\epsilon \Rightarrow \left|b^n\right|>\frac{1}{\epsilon }$
  Ist z.B. $b=2$ und $\epsilon =\mathrm{0,01}$, so gilt:
  $\left|\frac{1}{2^n}\right|<\mathrm{0,01}\Rightarrow 2^n>100\Rightarrow n>\frac{\lg 100}{\lg 2}\approx \frac{2}{\mathrm{0,301}}>6$
  Alle Glieder der Folge $\left(a_n\right)=\left(\frac{1}{2^n}\right)$ ab $a_7=\frac{1}{2^7}=\frac{1}{128}=00078125$ haben also von 0 einen geringeren Abstand als 0,01.
   
• Folgerung: Jede geometrische Folge $\left(a_n\right)=a_1\cdot q^{n-1}mit\left|q\right|<1$ ist eine Nullfolge.