Monotonie von Funktionen

Graphen von Funktionen können in bestimmten Intervallen steigen, fallen oder parallel zur x-Achse verlaufen.

Steigt der Graph, so wachsen die Funktionswerte, d.h., für x 1 < x 2 ist auch f ( x 1 ) < f ( x 2 ) . In diesem Fall heißt die Funktion in dem betrachteten Intervall streng monoton wachsend. Ist das nicht nur in einem bestimmten Intervall, sondern im gesamten Definitionsbereich D f der Fall, so heißt die Funktion streng monoton wachsend.

Gilt dagegen f ( x 1 ) > f ( x 2 ) für x 1 < x 2 , dann spricht man von streng monoton fallend.

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Für das Monotonieverhalten einer Funktion gilt:

  • Eine Funktion f heißt in einem Intervall I ihres Definitionsbereichs D f genau dann monoton wachsend, wenn für beliebige x 1 ,   x 2 ∈ I gilt:
    x 1 < x 2 ⇒ f ( x 1 ) ≤ f ( x 2 )
    Gilt sogar x 1 < x 2 ⇒ f ( x 1 ) < f ( x 2 ) , so heißt f streng monoton wachsend.
  • Eine Funktion f heißt in einem Intervall I ihres Definitionsbereichs D f genau dann monoton fallend, wenn für beliebige x 1 ,   x 2 ∈ I gilt:
      x 1 < x 2 ⇒ f ( x 1 ) ≥ f ( x 2 )
    Gilt sogar x 1 < x 2 ⇒ f ( x 1 ) > f ( x 2 ) , so heißt f streng monoton fallend.

Die Untersuchung von Funktionen auf Monotonie ist mithilfe der soeben gegebenen Erklärung oft nicht einfach. Ist die Funktion f aber differenzierbar dann liefert der Zusammenhang zwischen der Monotonie von f und den Tangentensteigungen das nachfolgende Kriterium für strenge Monotonie:
Sei f eine im Intervall I differenzierbare Funktion. Wenn für alle x aus I

  1. f ′ ( x ) > 0 gilt, dann ist f in I streng monoton wachsend;
  2. f ′ ( x ) < 0 gilt, dann ist f in I streng monoton fallend

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Wir betrachten im Folgenden einige Beispiele für Monotonieuntersuchungen.

Beispiel 1: Die Funktion f ( x ) = 2 x ist mithilfe der Definition auf Monotonie zu untersuchen.

Sind x 1 ,   x 2 ∈ D f mit x 1 < x 2 , dann ist x 2 = x 1 + h mit h > 0 .
Für den Funktionswert gilt dann:
  f ( x 2 ) = 2 x 2 = 2 x 1 + h = 2 x 1 ⋅ 2 h
Für h > 0 ist 2 h > 1 , also ist:
  f ( x 2 ) = 2 x 1 ⋅ 2 h > 2 x 1 = f ( x 1 )
Das heißt, f(x) ist streng monoton wachsend über dem gesamten Definitionsbereich.

Beispiel einer streng monton wachsenden Funktion

Beispiel einer streng monton wachsenden Funktion

Beispiel 2: Die Funktion f ( x ) = 2 3 x 3 + x ist mithilfe des Monotoniekriteriums auf Monotonie zu untersuchen.

Die 1. Ableitung ist f ′ ( x ) = 2 x 2 + 1 . Die Ungleichung 2 x 2 + 1 > 0 ist für alle x ∈ ℝ erfüllt, d.h. die Funktion ist im gesamten Definitionsbereich streng monoton wachsend.

Beispiel 3: Das Montonieverhalten der Funktion f ( x ) = 4 x 3 − 12 x ist zu untersuchen.

Auch hier wendet man zweckmäßigerweise das Monotoniekriterium an.
Man erhält f ′ ( x ) = 12 x 2 − 12 .
Die Ungleichung 12 x 2 − 12 > 0  bzw.  x 2 − 1 > 0 ist erfüllt für x < −   1  oder  x > 1 . Die Ungleichung 12 x 2 − 12 < 0  bzw.  x 2 − 1 < 0 ist erfüllt für − 1 < x < 1 .
Also ist die Funktion f für x < −   1  und  x > 1 streng monoton wachsend und für − 1 < x < 1 streng monoton fallend.

Graph zum Beispiel 3

Graph zum Beispiel 3

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