Mehrstufige Zufallsexperimente

Es liegt also erneut ein 5-stufiges Zufallsexperiment vor.
Die Tupel, durch die die Ergebnisse des Zufallsexperiments beschrieben werden, haben allerdings eine unterschiedliche Länge, da es für einen Matchgewinn nicht immer erforderlich ist, fünf Sätze auszutragen.

Aus dem Baumdiagramm kann die Ergebnismenge $\Omega$ unmittelbar abgelesen werden:
$\Omega =\left\{\left(A;A;A\right),\left(A;A;B;A\right),\left(A;A;B;B;A\right),\mathrm{...,}\left(B;B;B\right)\right\}$

Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten lassen sich mithilfe der Pfadregeln ebenfalls dem Baumdiagramm entnehmen.

Variante 3:
Axel und Bernd treffen im Rahmen eines offiziellen Wettkampfes aufeinander. Axel kann unter diesen Bedingungen einen Satzverlust nervlich nicht so leicht verarbeiten, er wird dann zunehmend unsicherer. So beträgt seine Gewinnwahrscheinlichkeit gegenüber Bernd im Anschluss an genau einen für ihn verlorenen Satz nur noch 0,5 und im Anschluss an zwei hintereinander verlorenen Sätzen lediglich 0,4.

Diese Veränderung hat auf die Ergebnismenge $\Omega$ im Vergleich zur Variante 2 keine Auswirkungen, aber auf den Verlauf des Zufallsexperiments, denn auf jeder Stufe des Zufallsexperiments hängt der weitere Fortgang vom bisherigen Verlauf ab, also von bedingten Wahrscheinlichkeiten.

So hatten in der Variante 2 die Pfade $\left(A;A;B;B;A\right)$ und $\left(B;A;B;A;A\right)$ die gleiche Wahrscheinlichkeit ${\mathrm{0,6}}^3\cdot {\mathrm{0,4}}^2$. Jetzt gilt:
$\begin{array}{l}P\left(\left\{\left(A;A;B;B;A\right)\right\}\right)={\mathrm{0,6}}^2\cdot \mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,4}und\\ P\left(\left\{\left(B;A;B;A;A\right)\right\}\right)=\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,6} \end{array}$

Variante 4:
Bernd hat gestern nach Variante 1 keinen Satz gewonnen. Er schlägt deshalb vor, heute so lange zu spielen, bis er einen Satz für sich entscheiden kann. Axel sagt:

„Damit wäre das Ende unseres heutigen Trainings also unbestimmt. Hoffentlich dauert es nicht so lange, denn ich muss noch etwas für die Schule machen.“

Theoretisch muss das so vereinbarte Tischtennisspiel kein Ende finden.
Die dazugehörige Ergebnismenge besteht aus abzählbar unendlich vielen Elementen und die einzelnen Tupel haben alle eine unterschiedliche „Länge“:
$\Omega =\left\{B,\left(A;B\right),\left(A;A;B\right),\left(A;A;A;B\right),\left(A;A;A;A;B\right),\mathrm{...}\right\}$

Nimmt man wie in Variante 1 an, dass die einzelnen Sätze unter gleichen Bedingungen und unabhängig voneinander ausgetragen werden (was mit zunehmender Spieldauer allerdings immer weniger realistisch ist), so ist die Anzahl der Sätze bis zum ersten Erfolg von Bernd geometrisch verteilt.

Variante 5:
Axel will Bernd etwas aufheitern, denn er schlägt vor, statt des zweiten und vierten Satzes (nach Variante 1) jeweils eine Partie Blitzschach zu spielen. Bernd gewinnt nämlich dabei mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,6. Bei Axel beträgt diese lediglich 0,2. Die Wahrscheinlichkeit für ein Remis liegt bei ihnen erfahrungsgemäß bei 0,2.

Das Besondere an diesem fünfstufigen Zufallsexperiment besteht im Baumdiagramm darin, dass auf verschiedenen Stufen unterschiedliche Ergebnisse möglich sind: Die Ergebnisse und Wahrscheinlichkeiten der ersten, dritten und fünften Stufe unterscheiden sich von denen der zweiten und vierten Stufe.

Wenn ein Sieg von Axel beim Schach mit A', von Bernd mit B' und ein Remis mit R abgekürzt wird, so erhält man:
$\Omega =\left\{\left(e_1;e_2;\mathrm{...};e_5\right)mit{e}_1,e_3,e_5\in \left\{A;B\right\}und{e}_2,e_4\in \left\{A^{\prime };B^{\prime };R\right\}\right\}$