Matrizengleichungen

Eine Gleichung, bei der die Elemente einer unbekannten Matrix zu bestimmen sind, heißt Matrizengleichung. Die Lösungen der Grundgleichungen $A \cdot X = B, X \cdot A = B b z w . A \cdot X \cdot B = C$ können sofort angegeben werden. Kompliziertere Gleichungen lassen sich mittels der Matrizenoperationen Addition, Subtraktion und Multiplikation (evtl. mit der inversen Matrix) in Grundgleichungen überführen.

(Hinreichende) Bedingungen für die eindeutige Lösbarkeit sind:

die Matrizen A, B, C und D sind quadratisch
die Matrizen A, B, C und D sind quadratisch invertierbar

Mittels der Matrizenoperationen Addition, Subtraktion und Multiplikation (evtl. mit der inversen Matrix) sind die (in der folgenden Tabelle zusammengestellten) Grundgleichungen zu erzeugen.

Grundgleichung	Lösung
$A \cdot X = B$	$X = A^{- 1} \cdot B$
$X \cdot A = B$	$X = B \cdot A^{- 1}$
$A \cdot X \cdot B = C$	$X = A^{- 1} \cdot C \cdot B^{- 1}$

Lösungen zu weiteren Gleichungstypen

Zusätzlich zur Invertierbarkeit der Matrizen A, B, C und D wird hier gefordert, dass die in der Lösungsspalte aufgeführten inversen Matrizen auch existieren. Dann sind auch die dazugehörigen Matrizengleichungen eindeutig lösbar.

Typische Gleichungen	Lösung
$X \cdot A \cdot B - A - X \cdot C = D$ (X ist Linksfaktor)	$X = (A + D) \cdot {(A \cdot B - C)}^{- 1}$
$A + B \cdot X = C \cdot X$ (X ist Rechtsfaktor)	$X = {(C - B)}^{- 1} \cdot A$
$A \cdot B \cdot X + X \cdot C = D$ (X ist Links- und Rechtsfaktor)	Diese Gleichung kann nicht nach X aufgelöst werden.
$A \cdot B + k X = B$ (X ist mit einem Skalar multipliziert)	$X = \frac{1}{k} (C - A \cdot B)$
$\begin{array}{l} A \cdot X - k X = B o d e r \\ A \cdot X - X k = B \end{array}$	$X = {(A - k E)}^{- 1} \cdot B bzw . X = {(A - k E)}^{- 1} \cdot B$ Die Multiplikation von einem Skalar mit einer Matrix ist kommutativ.

Beispiel: Es ist die Matrizengleichung $A \cdot X - C \cdot B = X - D$ mit
$\begin{array}{l} A = (\begin{matrix} 5 & 7 & 5 \\ - 4 & 2 & 1 \\ 23 & 6 & - 5 \end{matrix}), B = (\begin{matrix} 3 & 0 & 3 \\ 2 & 23 & 6 \\ 22 & 3 & - 7 \end{matrix}), \\ C = (\begin{matrix} 24 & 3 & - 3 \\ 0 & - 5 & 8 \\ 26 & - 3 & 14 \end{matrix}), D = (\begin{matrix} 18 & 3 & - 3 \\ 0 & - 7 & 8 \\ 26 & - 3 & 18 \end{matrix}) \end{array}$
zu lösen.

Lösung:
$\begin{matrix} A \cdot X - B \cdot X = C - D \\ (A - B) \cdot X = C - D \\ X = {(A - B)}^{- 1} \cdot (C - D) \end{matrix}$

Mit ${(A - B)}^{- 1} = (\begin{matrix} - 27 & - 8 & 7 \\ 7 & 2 & - 2 \\ 3 & 1 & 0 \end{matrix})$
ergibt sich die Lösung $X = (\begin{matrix} - 162 & - 16 & - 28 \\ 42 & 4 & 8 \\ 18 & 2 & 0 \end{matrix}) .$

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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