Lösbarkeitskriterien für homogene lineare Gleichungssysteme

Gegeben sei ein lineares Gleichungssystems mit den n Variablen $x_{i}miti=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{...,}n$ der folgenden Form:
$\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+a_{13}{x}_3+\mathrm{...}+a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+a_{23}{x}_3+\mathrm{...}+a_{2n}{x}_n=b_2\\ a_{31}{x}_1+a_{32}{x}_2+a_{33}{x}_3+\mathrm{...}+a_{3n}{x}_n=b_3\\ \mathrm{...}\mathrm{...}\\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+a_{n3}{x}_3+\mathrm{...}+a_{nn}{x}_n=b_n\end{array}$

Für die Lösung gibt es drei Möglichkeiten:

1. Das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar, d.h., es besitzt genau einen Lösungsvektor.
2. Das Gleichungssystem ist mehrdeutig lösbar, d.h., der Lösungsvektor ist parameterbehaftet.
3. Das Gleichungssystem ist unlösbar.

Indikatoren für die Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme sind der Rang der Matrix A (Koeffizientenmatrix) der Rang der um den Vektor der Absolutglieder erweiterten Matrix  $$ A   |   b → ( erweiterte Koeffizientenmatrix) und die Anzahl der Variablen n.

Im Folgenden untersuchen wir die Lösbarkeit homogener linearer Gleichungssysteme.

• Satz 1: Ein homogenes lineares Gleichungssystem ist stets lösbar. Es besitzt immer den Nullvektor als Lösung (trivialen Lösung).
  Der Nullvektor ist genau dann die einzige Lösung, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix gleich der Anzahl der Variablen ist.

Beispiel 1: Es ist das folgende homogene lineare Gleichungssystem zu lösen:
$\begin{array}{l}{x}_1+2x_2=0\\ x_1+x_2+x_3=0\\ 4x_1+16x_2+x_3=0\end{array}$

Die Koeffizientenmatrix hat folgende Gestalt:
$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 1& 1& 1\\ 4& 16& 1\end{array}\right)$
Nach Umformung ergibt sich:
$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 9\end{array}\right)\Rightarrow rgA=3=n$
Der Rang von A ist also gleich der Anzahl n der Variablen, und es existiert nur die triviale Lösung $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right).$

• Satz 2: Das homogene lineare Gleichungssystem besitzt genau dann unendlich viele Lösungen, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix kleiner als die Anzahl der Variablen ist.

Beispiel 2: Es ist das folgende homogene lineare Gleichungssystem zu lösen:
$\begin{array}{l}{x}_1+4x_2=0\\ x_1+4x_2+2x_3=0\\ 4x_1+16x_2+2x_3=0\end{array}$

Die Koeffizientenmatrix hat folgende Gestalt:
$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 4& 0\\ 1& 4& 2\\ 4& 16& 2\end{array}\right)$
Umformen ergibt
$\left(\begin{array}{ccc}1& 4& 0\\ 0& 0& 2\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\Rightarrow rgA=2<n,$

d.h. der Rang von A ist kleiner als die Anzahl der Variablen.
Folglich gibt es unendlich viele Lösungen:
$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 0\end{array}\right)\left(t\in ℝ\right)$