Lineare Gleichungssysteme (Matrixschreibweise)

Ein lineares Gleichungssystems mit den Variablen $x_i(i=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{...,}n)$ lässt sich folgendermaßen darstellen:

$\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12x}{x}_2+a_{13}{x}_3+\mathrm{...}+a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22x}{x}_2+a_{23}{x}_3+\mathrm{...}+a_{2n}{x}_n=b_2\\ a_{31}{x}_1+a_{32x}{x}_2+a_{33}{x}_3+\mathrm{...}+a_{3n}{x}_n=b_3\\ \mathrm{...}\mathrm{...}\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2x}{x}_2+a_{m3}{x}_3+\mathrm{...}+a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}$

Dabei werden die $a_{ij}(miti=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{...,}nundj=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{...,}m)$ als Koeffizienten des Gleichungssystems und die $b_j(mitj=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{...,}m)$ als die Absolutglieder bezeichnet.

Sind alle $b_j=0$, so liegt ein homogenes lineares Gleichungssystem vor. Sonst spricht man von einem inhomogenen linearen Gleichungssystem.

In Matrixschreibweise stellt sich ein lineares Gleichungssystem folgendermaßen dar:
$A\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{b}$

Hierbei sind A die Koeffizientenmatrix, $\overrightarrow{b}$ der Vektor der Absolutglieder und $\overrightarrow{x}$ der Vektor der Variablen (Lösungsvektor) mit
$A=\left(\begin{array}{lllll}{a}_{11}\hfill & a_{12}\hfill & a_{13}\hfill & \mathrm{...}\hfill & a_{1n}\hfill \\ a_{21}\hfill & a_{22}\hfill & a_{23}\hfill & \mathrm{...}\hfill & a_{2n}\hfill \\ a_{31}\hfill & a_{32}\hfill & a_{33}\hfill & \mathrm{...}\hfill & a_{3n}\hfill \\ \mathrm{...}\hfill & \mathrm{...}\hfill & \mathrm{...}\hfill & \mathrm{...}\hfill & \mathrm{...}\hfill \\ a_{m1}\hfill & a_{m2}\hfill & a_{m3}\hfill & \mathrm{...}\hfill & a_{mn}\hfill \end{array}\right)$
und
$\begin{array}{c}\overrightarrow{b}={\left(\begin{array}{lllll}{b}_1\hfill & b_2\hfill & b_3\hfill & \mathrm{...}\hfill & b_m\hfill \end{array}\right)}^T\\ \overrightarrow{x}={\left(\begin{array}{lllll}{x}_1\hfill & x_2\hfill & x_3\hfill & \mathrm{...}\hfill & x_n\hfill \end{array}\right)}^T.\end{array}$

• Beispiel 1 (inhomogenes lineares Gleichungssystem):
  $\begin{array}{c}{x}_1+2x_2=1\\ x_1+x_2+x_3=-1\\ 4x_1+16x_2+x_3=2\end{array}$
  
  Es ist:
  $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 1& 1& 1\\ 4& 16& 1\end{array}\right)\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 2\end{array}\right)$

• Beispiel 2 (homogenes lineares Gleichungssystem):
  $\begin{array}{c}{x}_1+2x_2=0\\ x_1+x_2+x_3=0\\ 4x_1+16x_2+x_3=0\end{array}$
  
  Es ist:
  $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 1& 1& 1\\ 4& 16& 1\end{array}\right)\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$