Krümmung und Wendepunkt

Durchfährt ein Rennfahrer beispielsweise die Grand-Prix-Strecke des Eurospeedway Lausitz, so muss er seinen Wagen durch eine Vielzahl von Links- und Rechtskurven mit dazwischenliegenden „Wendestellen“ lenken.

Die Graphen monotoner Funktionen kann man in ähnlicher Weise auf ihr sogenanntes Krümmungsverhalten bzw. auf Wendestellen untersuchen.

Zusammenhang zwischen dem Krümmungsverhalten des Graphen einer Funktion f und ihrer 1. und 2. Ableitung

Zusammenhang zwischen dem Krümmungsverhalten des Graphen einer Funktion f und ihrer 1. und 2. Ableitung

Anhand der grafischen Darstellung der Funktion sowie ihrer 1. und 2. Ableitung erkennt man für die Art der Krümmung folgende typischen Eigenschaften:

 Rechtsgekrümmte
Kurvenstücke		Linksgekrümmte
Kurvenstücke
Alle Tangenten an den Graphen in diesem Bereich liegen ...... oberhalb des Graphen.... unterhalb des Graphen.
Mit wachsenden x- Werten werden die Tangentenanstiege ...... immer kleiner.... immer größer.
Die erste Ableitung ist in diesem Intervall ...... streng monoton fallend.... streng monoton wachsend.
Die zweite Ableitung in diesem Intervall ...... ist kleiner als null.... ist größer als null.

An der Wendestelle x w bzw. dem zugehörigen Wendepunkt W ( x w ;   f ( x w ) ) ändert der Graph sein Krümmungsverhalten.

Tritt bei dem Graphen von f ein Wechsel von rechtsgekrümmt nach linksgekrümmt auf, so hat die 1. Ableitung von f in der Wendestelle x w ein lokales Minimum.

Erfolgt jedoch der Wechsel von links- nach rechtsgekrümmt, so hat die 1. Ableitung entsprechend ein lokales Maximum.

Verallgemeinert man diese Aussage, so ist eine Wendestelle dadurch gekennzeichnet, dass die 1. Ableitung an dieser Stelle ein Extremum haben muss.
Mögliche Wendestellen liegen also immer an denjenigen Stellen vor, an denen die 2. Ableitung Nullstellen besitzt.

Für die Existenz einer Wendestelle gilt folgende hinreichende Bedingung:

  • Eine Funktion f sei in ihrem Definitionsbereich dreimal differenzierbar.
    Gilt für eine Stelle x w des Definitionsbereiches f ″ ( x w ) = 0   u n d   f ‴ ( x w ) ≠ 0, so hat f an der Stelle x w eine Wendestelle.

Es gibt Wendestellen x w , für die außerdem f ′ ( x w ) = 0   gilt, wo also die Tangente an den Graphen von f parallel zur x-Achse verläuft. Man nennt solche Wendepunkte Sattelpunkte, Terrassenpunkte oder Horizontalwendepunkte.

Unter einer Wendetangente versteht man diejenige Tangente, die den Graphen von f in ihrem Wendepunkt durchsetzt und somit die Kurventeile mit unterschiedlichem Krümmungssinn voneinander trennt.

Im folgenden Beispiel soll das Vorgehen bei der Untersuchung des Krümmungsverhaltens eines Funktionsgraphen gezeigt werden:

  • Beispiel:    f ( x ) = 1 2 x 4 − 3 x 3 + 6 x 2 − 4 x + 2  

Bilden der ersten drei Ableitungen:
f ′ ( x ) = 2 x 3 − 9 x 2 + 12 x − 4   f ″ ( x ) = 6 x 2 − 18 x + 12   f ‴ ( x ) = 12 x − 18  

Die Nullstellen der 2. Ableitung erhält man aus 0 = 6 x 2 − 18 x + 12     z u   x 1 = 1   u n d   x 2 = 2.
Da f ‴ ( 1 ) = −   6 ≠ 0   u n d   f ‴ ( 2 ) =   6 ≠ 0 ist, existieren bei x 1     u n d     x 2 tatsächlich Wendestellen.

Die Wendepunkte erhält man, indem die Wendestellen in die Ausgangsgleichung eingesetzt werden:
f ( 1 ) = 1,5   ⇒   W 1 ( 1   ;   1,5 ) f ( 2 ) = 2     ⇒   W 2 ( 2   ;   2 )    

Für die Anstiege der Wendetangenten gilt:
m 1 = f ′ ( 1 ) = 1   u n d   m 2 = f ′ ( 2 ) =   0
(Da der Anstieg des Graphen an der Wendestelle x 2 gleich null ist, ist W 2 ein Sattelpunkt.)

Nach Einsetzen der Koordinaten der Wendepunkte und des Anstiegs in die Geradengleichung y = m x + n erhält man die Gleichungen für die Wendetangenten:
t 1 :   y = 1 x + 0,5 t 2 :   y = 2

Grafische Darstellung der Funktion f mit Wendepunkten und Wendetangenten

Grafische Darstellung der Funktion f mit Wendepunkten und Wendetangenten

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Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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