Koordinatentransformationen

Der Ursprung des neuen Koordinatensystems sei $O\text{'}\left(a;b;c\right)$. Zwischen den Koordinaten x, y und z eines Punktes P im gegebenen Koordinatensystem und seinen Koordinaten $x\text{'},y\text{'},z\text{'}$ im neuen System besteht dann der folgende Zusammenhang:
$\begin{array}{ccc}x\text{'}=x-a& bzw.& x=x\text{'}+a\\ y\text{'}=y-b& & y=y\text{'}+b\\ z\text{'}=z-c& & z=z\text{'}+c\end{array}$

Im Folgenden soll ein Beispiel für die Ebene betrachtet werden.

• Beispiel: Gegeben sei eine kubische Parabel durch $y=f\left(x\right)=\frac{1}{10}{x}^3-\frac{3}{10}{x}^2-\frac{3}{5}x+\frac{9}{5}$.
  Wie ändert sich deren Gleichung, wenn eine Verschiebung des Koordinatenursprungs in den Punkt $O\text{'}\left(1;1\right)$ vorgenommen wird?

Mithilfe der Beziehungen $x=x\text{'}+1bzw.y=y\text{'}+1$ ergibt sich:
$\begin{array}{c} y\text{'}=\frac{1}{10}{\left(x\text{'}+1\right)}^3-\frac{3}{10}{\left(x\text{'}+1\right)}^2-\frac{3}{5}\left(x\text{'}+1\right)+\frac{9}{5}\\ =\frac{1}{10}{\left(x\text{'}\right)}^3+\frac{3}{10}{\left(x\text{'}\right)}^2+\frac{3}{10}x\text{'}+\frac{1}{10}-\frac{3}{10}{\left(x\text{'}\right)}^2-\frac{6}{10}x\text{'}-\frac{3}{10}-\frac{3}{5}x\text{'}-\frac{3}{5}+\frac{9}{5}\\ =\frac{1}{10}{\left(x\text{'}\right)}^3-\frac{9}{10}x\text{'}\end{array}$

Aus dieser Darstellung kann z.B. die Punktsymmetrie des Graphen zum Ursprung $O\text{'}$ bzw. zum Punkt $P\left(1;1\right)$ im ursprünglichen Koordinatensystem sofort erkannt werden, da kein Absolutglied und kein Ausdruck mit geradzahligem Exponenten vorhanden ist.

• Beispiel: Gegeben sei der Punkt $P\left(3;2\right)$. Das Koordinatensystem wird um $30°$ im mathematisch positiven Drehsinn gedreht.

Die neuen Koordinaten ergeben sich wie folgt:
$x\text{'}=3\cdot \cos 30°+2\cdot \sin 30°\approx \mathrm{3,598}$
$y\text{'}=-3\cdot \sin 30°+2\cdot \cos 30°\approx \mathrm{0,232}$

Analoge Überlegungen lassen sich für den dreidimensionalen Fall anstellen.