Konstantenregel der Differenzialrechnung

Wir betrachten die konstante Funktion $f\left(x\right)=c$ für alle $x\in ℝ$.
Ihr Graph ist eine Parallele zur x-Achse.

Zum Nachweis dieser Vermutung wird der Differenzenquotient für eine beliebige Stelle $x_0\in D_f$ gebildet:
$\begin{array}{c}d\left(h\right)=\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x\right)}{h}\\ =\frac{c-c}{h}=\frac{0}{h}=0\left(fürh\ne 0\right)\end{array}$

Also gilt auch:

$f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{h\to 0}{\lim }0=0$

Damit gilt allgemein die Konstantenregel der Differenzialrechnung:

• Eine konstante Funktion $f\left(x\right)=c\left(c\in ℝ,aberfest\right)$ besitzt für alle $x\in ℝ$ die Ableitung $f^{\prime }\left(x\right)=0$.

Anmerkung: Bei der Ableitung einer Funktion ist stets genau zu beachten, welche der (u.U. mehreren) in der Funktionsgleichung auftretenden Variablen die unabhängige (Funktions-)Variable kennzeichnet.

Beispielsweise ist für $f\left(x\right)=c$ nach obiger Regel die Ableitung $f^{\prime }\left(x\right)=0$, während dies für $f\left(c\right)=c\left(c\in ℝ\right)$ nicht zutrifft.