Körper

Ein Körper ist eine algebraische Struktur mit zwei Operationen (geschrieben als Addition und Multiplikation), in der man uneingeschränkt addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren kann wie im Bereich der rationalen, reellen oder komplexen Zahlen.

Der Begriff Körper baut auf dem Begriff des Ringes auf, in dem die Division die einzige der vier Grundrechenarten ist, deren Ausführbarkeit nicht aus den Ringaxiomen folgt. Im Ring der ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ oder im Matrizenring M mit Elementen aus $ℝ$ oder im Restklassenring $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ (m keine Primzahl) gibt es Elemente, die kein inverses Element besitzen.

Definition

Eine nichtleere Menge K von Elementen a, b, c, ... heißt Körper, wenn in ihr zwei Operationen (geschrieben als Addition und Multiplikation) erklärt sind, die folgenden Axiomen genügen:

1. (Axiom 1) Die Menge K bildet bez. der Addition einen Modul.
2. (Axiom 2) Die Menge $K\backslash \left\{0\right\}$ bildet bezüglich der Multiplikation eine abelsche Gruppe.
3. (Axiom 3) Beide Operationen sind distributiv verbunden, d.h., für alle Elemente a, b, c, ... aus K gilt:
   $a\cdot \left(b+c\right)=a\cdot b+a\cdot c$

Anmerkung: Das Zeichen „0“ bezeichnet in der obigen Definition das Nullelement bezüglich der in K definierten Addition.

Ein Körper ist ein kommutativer Ring, in dem die vom Nullelement verschiedenen Elemente eine Gruppe bilden, d.h., ein Körper hat ein Einselement und zu jedem Element aus K ein inverses Element.

Beispiele für Körper

Die rationalen Zahlen bilden (ebenso wie die reellen Zahlen oder die komplexen Zahlen) einen Körper.

Dagegen ist in den Zahlenbereichen $\mathbb{N}$ und $\mathbb{Z}$ das Axiom 2 nicht erfüllt, somit bilden diese Strukturen keinen Körper.

Die Ringe $R_k=\left\{a+b\sqrt{k};a,b\in \mathbb{Q}\right\}$, wobei k nicht quadratisch und $k\ne 0$ ist, sind Körper.

Jedes Element $a+b\sqrt{k}\ne 0$ besitzt (da k nach Voraussetzung nicht quadratisch ist) ein inverses Element in $R_k$:

$\frac{1}{a+b\sqrt{k}}=\frac{a-b\sqrt{k}}{a^2-b^{2}k}=\frac{a}{a^2-b^{2}k}-\frac{b}{a^2-b^{2}k}\sqrt{k}$ mit $a^2-b^{2}k\ne 0$

$$Für den Körper mit den Elementen $a+b\sqrt{-1}=a+bi$ ist auch die Bezeichnung gaußscher Zahlenkörper gebräuchlich.

Restklassenkörper

Die Frage, welcher der Restklassenringe $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ ein Körper ist, ist äquivalent mit der nach Lösbarkeit aller Restklassengleichungen der Form

${\left[a\right]}_m\cdot {\left[x\right]}_m=\left[1\right]{}_m$ mit ${\left[a\right]}_m\ne {\left[0\right]}_m$:
${\left[a\right]}_m\cdot {\left[x\right]}_m={\left[1\right]}_m\iff a\cdot x\equiv 1\left(m\right)\iff m|\left(a\cdot x-1\right)\iff a\cdot x-m\cdot y=1$

$$(Da nur ganzzahlige Lösungen dieser Gleichung interessieren, handelt es sich um eine diophantische Gleichung.)

Durch $a\cdot x-m\cdot y$ werden alle Vielfachen des größten gemeinsamen Teilers von a und m (in Zeichen: $ggT\left(a,m\right)$) dargestellt, d.h., die Gleichung ist genau dann lösbar, wenn a und m teilerfremd (für alle $a<m$) sind. Das gilt aber nur für alle $a<m$, wenn m eine Primzahl ist.

Die Restklassenringe $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ (mit p Primzahl) bilden somit Körper.
In diesen Körpern gelten Regeln, die sich wesentlich vom Rechnen in Zahlenbereichen unterscheiden:

$\begin{array}{c} {\left({\left[a\right]}_p+{\left[b\right]}_p\right)}^p={\left(\left[a\right]{}_p\right)}^p+{\left({\left[b\right]}_p\right)}^p\\ {\left({\left[a\right]}_p-{\left[b\right]}_p\right)}^p={\left({\left[a\right]}_p\right)}^p-{\left({\left[b\right]}_p\right)}^p \end{array}$

$$Diese Beziehungen resultieren daraus, dass jeder Binomialkoeffizient
$\left(\begin{array}{c}p\\ i\end{array}\right)$ mit $i=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{...,}p-1$ wegen $\left(\begin{array}{c}p\\ i\end{array}\right)=\frac{p\cdot \left(p-1\right)\cdot \mathrm{...}\cdot \left(p-i+1\right)}{1\cdot 2\cdot \mathrm{...}\cdot i }$
den Faktor p enthält und damit Null ist.
Durch vollständige Induktion kann man diese Aussage auf Potenzen mit mehr als zwei Summanden verallgemeinern. Daraus folgt u.a. nachstehende (als kleiner fermatscher Satz bezeichnete) Aussage:

$p|a^{p-1}-1$
(da ${\left({\left[a\right]}_p\right)}^p={\left({\left[1\right]}_p\right)}^p+\mathrm{...}+{\left({\left[1\right]}_p\right)}^p={\left[1\right]}_p+\mathrm{...}+{\left[1\right]}_p={\left[a\right]}_p$ ist und wegen der Existenz von ${\left({\left[a\right]}_p\right)}^{-1}$ auch ${\left({\left[a\right]}_p\right)}^{p-1}={\left(\left[1\right]\right)}_p$ folgt)

Der mengentheoretische Durchschnitt von Unterkörpern eines festen Körpers K bildet wieder einen Körper; so z.B. $\mathbb{Q}\cap ℝ\cap ℂ=\mathbb{Q}$.
Der Durchschnitt aller Unterkörper von K enthält keinen echten Unterkörper mehr; ein solcher Körper heißt Primkörper.
Beispiele für solche Primkörper sind u.a. der Körper der rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ sowie die Restklassenkörper $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.

In jedem Körper K kann man den Ring aller Polynome $f\left(x\right)$ mit Koeffizienten aus K bilden, in Zeichen:
$K\left[x\right]=\left\{f\left(x\right)=a_n{x}^n+\mathrm{...}+a_{1}x+a_0;n\in \mathbb{N},a_i\in K\right\}$

$$Der Körper heißt algebraisch abgeschlossen, wenn in $K\left[x\right]$ jedes Polynom in Linearfaktoren zerfällt; d.h., jedes irreduzible Polynom ist in $K\left[x\right]$ linear.
Der Körper der komplexen Zahlen ist algebraisch abgeschlossen.