Interessante Kurven

Kettenlinie

Die Kettenlinie entsteht bei der Aufhängung eines schweren biegsamen Fadens (dünne Kette) zwischen zwei Punkten. Es gilt:
$y=f\left(x\right)=a\cdot \frac{e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}}}{2}$

In der folgenden Abbildung ist die Kurve für $a=5$ dargestellt.

Anmerkung: Eine rationale Näherung in der Nähe des Scheitelpunktes erhält man mit:
$y=g\left(x\right)=\frac{x^2}{2a}+a$

Die folgenden wichtigen Kurven sind vorwiegend mit Mitteln der Differenzialgeometrie zu erhalten (dabei treten bei der Lösung der Fragestellung Differenzialgleichungen auf, die hier nicht diskutiert werden).

• Die Evolute ist der geometrische Ort aller Krümmungsmittelpunkte einer ebenen Kurve.

Die Evolute der Parabel $y=x^2$ erhält man in folgender Form:
$y=\frac{1}{2}+3\cdot {\left(\frac{x}{4}\right)}^{\frac{2}{3}}$
(bzw. in Parameterdarstellung)
$\begin{array}{c}x\left(t\right)=-4t^3\\ y\left(t\right)=\frac{1+6t^2}{2}\end{array}$

• Wird ein Faden um eine Kurve gelegt und dann straff abgewickelt, so beschreibt das Fadenende eine Evolvente (Abwickelkurve). Anwendung finden die Evolventen z.B. in der Zahnradformung.

Für den Kreis lautet die Evolvente in Parameterdarstellung folgendermaßen:
$\begin{array}{c}x\left(\varphi \right)=r\cdot \left(\cos \varphi +\varphi \cdot \sin \varphi \right)\\ y\left(\varphi \right)=r\cdot \left(\sin \varphi -\varphi \cdot \cos \varphi \right)\end{array}\left(rRadius;\varphi Wälzwinkel\right)$