Für spezielle Gleichungen lassen sich Lösungen auf direktem Wege ermitteln. Ansonsten müssen Näherungsverfahren (Sekantennäherungsverfahren, Tangentennäherungsverfahren, allgemeines Iterationsverfahren) eingesetzt werden.
Tritt die Variable (Unbekannte) als Argument von verschiedenen Winkelfunktionen auf, so versuche man so umzuformen, dass die Gleichung auf eine solche mit nur einer Winkelfunktion reduziert wird. Bei diesen Umformungen hilft oft eine der Beziehungen („trigonometrischer Pythagoras“) bzw. .
- Beispiel 1:
Im Folgenden wird ein Lösungsweg kurz demonstriert:
Hieraus ergeben sich als Lösungen im Intervall :
Nachstehende Skizze veranschaulicht diese Lösungen.
Weitere Lösungen der Ausgangsgleichung ergeben sich aus der Periodizität der Winkelfunktionen. Ein anderer Lösungsweg für das Beispiel 1 wäre das folgende Vorgehen (für ):
- Beispiel 2:
Quadrieren und Anwenden des „trigonometrischen Pythagoras“ ergibt:
Zusammenfassen und die Substitution führen auf die quadratische Gleichung mit den Lösungen .
Hieraus ergeben sich als (mögliche) Lösungen der Ausgangsgleichung sowie .
Die wegen der nichtäquivalenten Umformung notwendige Probe zeigt allerdings, dass keine Lösung ist.
Lösen goniometrischer Gleichungen durch Einführen eines Hilfswinkels
Goniometrische Gleichungen der Form lassen sich durch Einführen eines Hilfswinkels lösen. Dabei geht man wie folgt vor: Für erhält man nach Division
.
In dieser Gleichung wird nun die Konstante als Tangens eines Winkels aufgefasst, also etwa , woraus nach Multiplikation mit zunächst
und nach Anwenden eines Additionstheorems
folgt. Weil bekannt ist, ist damit die Unbekannte bestimmt.
- Beispiel 3:
Division durch 2 liefert , so dass wegen folgt:
Hieraus ergeben sich im Intervall die folgenden Lösungen: