Gleichungen

Zum Gleichungsbegriff

Der Begriff Gleichung geht auf den italienischen Mathematiker LEONARDO FIBONACCI VON PISA (etwa 1180 bis etwa 1250) zurück.

Gleichungen, in denen keine Variablen auftreten, sind (wahre oder falsche) Aussagen :

• $4\cdot 25=100$ ist eine wahre Aussage.
• $3+17=19$ ist eine falsche Aussage.

Gleichungen, in denen (mindestens) eine Variable auftritt, sind keine Aussagen, sondern Aussageformen. Sie werden zu (wahren oder falschen) Aussagen, wenn alle vorkommenden Variablen belegt (d.h. durch Zahlen aus dem jeweiligen Grundbereich ersetzt) oder durch zusätzliche Bedingungen gebunden werden:

• $4\cdot x=25\left(mitx\in ℝ\right)$ wird für $x=\mathrm{6,25}$ zu einer wahren, für alle anderen Werte zu einer falschen Aussage.
  Ist der Variablengrundbereich jedoch die Menge der natürlichen Zahlen $\left(x\in \mathbb{N}\right),$ so gibt es keine Zahl, für die die Gleichung zu einer wahren Aussage wird.
• Wird in der Gleichung $x^2=17$ die Variable durch die Existenzaussage „Es gibt ein x mit $x^2=17$“ gebunden, so entsteht für den Variablengrundbereich der reellen Zahlen $\left(x\in ℝ\right)$ eine wahre Aussage, für den Variablengrundbereich der rationalen Zahlen $\left(x\in \mathbb{Q}\right)$ aber eine falsche Aussage.
• Werden in der Gleichung $a+b=b+a$ die Variablen durch die Allaussage „Für alle reellen Zahlen a und b gilt ...“ gebunden, so entsteht eine wahre Aussage.

Lösen einer Gleichung - Lösungsmenge

Eine Gleichung lösen heißt, alle Elemente des Grundbereiches zu finden, die beim Einsetzen in die Gleichung eine wahre Aussage erzeugen.
Jedes solche Element des Grundbereichs heißt Lösung der Gleichung. Man sagt auch: Eine Lösung erfüllt die Gleichung.
Alle Lösungen zusammen bilden die Lösungsmenge L dieser Gleichung. Die Lösungsmenge ist abhängig vom Variablengrundbereich.

• Die Gleichung $x^2=16$ hat über dem Variablengrundbereich der natürlichen Zahlen $\left(x\in \mathbb{N}\right)$ die Lösungsmenge $L=\left\{4\right\}$ und über dem Variablengrundbereich der ganzen Zahlen $\left(x\in \mathbb{Z}\right)$ die Lösungsmenge $L=\left\{-4;4\right\}.$

Zur Einteilung von Gleichungen

Gleichungen kann man zunächst nach der Anzahl der Unbekannten (freien Variablen) einteilen.
Gleichungen mit einer Unbekannten (freien Variablen) lassen sich danach unterscheiden, in welcher Form die Unbekannte (freie Variable) vorkommt. Wenn man voraussetzt, dass mögliche Vereinfachungen ausgeführt sind, kann man Gleichungen (in Anlehnung an eine Einteilung von Funktionen) in algebraische und transzendente Gleichungen einteilen.
Zu den algebraischen Gleichungen zählen die rationalen Gleichungen (insbesondere die ganzrationalen)und die Wurzelgleichungen, zu den transzendenten Gleichungen die goniometrischen Gleichungen sowie Exponential- und Logarithmusgleichungen.

Ganzrationale Gleichungen

Eine ganzrationale Gleichung hat die folgende Form:

$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+a_{n-2}{x}^{n-2}+\mathrm{...}+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0=0$

Dabei gibt der höchste Exponent der Variablen x (hier also n) den Grad der Gleichung an.
Gleichungen ersten Grades werden auch linear, Gleichungen zweiten Grades quadratisch genannt. Für beide gibt es allgemeingültige Lösungsformeln.
Auch für Gleichungen dritten Grades (kubische Gleichungen) und vierten Grades gibt es allgemeine Lösungsformeln, die sogenannten cardanischen Formeln, benannt nach dem italienischen Mathematiker GERONIMO CARDANO (1501 bis 1576).
Dass es für Gleichungen höheren als vierten Grades keine allgemeine Lösungsformel gibt, hat erst der norwegische Mathematiker NILS HENRIK ABEL (1802 bis 1829) bewiesen.