Geradenbüschel in der Ebene

Geradenbüschel in der Ebene

Geradenbüschel in der Ebene

Schnittpunkt zweier Geraden eines Büschels

Schnittpunkt zweier Geraden eines Büschels

Da der Punkt P 0 schon als Schnittpunkt von zwei Geraden eines Büschels eindeutig bestimmt ist, kann man feststellen, dass jedes Geradenbüschel der Ebene durch zwei seiner Geraden g 1 u n d g 2 eindeutig festgelegt ist.

Allgemeiner formuliert gilt sogar:
Zwei Geraden der Ebene, die nicht parallel zueinander sind, bestimmen eindeutig ein Geradenbüschel.

Um eine analytische Beschreibung eines Geradenbüschels zu gewinnen, werden zunächst zwei voneinander verschiedene Geraden g 1 u n d g 2 betrachtet, die durch den Punkt P 0 gehen. Jede dieser beiden Geraden lässt sich z. B. durch den Ortsvektor p 0 zum Punkt P 0 und einen zugehörigen Normalenvektor n beschreiben.

Normalenvektoren zweier Geraden eines Büschels

Normalenvektoren zweier Geraden eines Büschels

Aufgrund der Eigenschaft des Skalarprodukts zweier Vektoren gilt dann:
      g 1 : ( x p 0 ) n 1 = 0 g 2 : ( x p 0 ) n 2 = 0

Jede andere Gerade g durch P 0 kann ebenfalls durch den Ortsvektor zu P 0 und einen Normalenvektor beschrieben werden. Es gilt dann:
   g : ( x p 0 ) n = 0

Bedenkt man jetzt, dass g 1 u n d g 2 nicht parallel zueinander sind, so sind auch die beiden Normalenvektoren n 1 u n d n 2 nicht parallel zueinander bzw. sie sind linear unabhängig voneinander.

Folglich lässt sich der Vektor n als Linearkombination von n 1 u n d n 2 auffassen.
Es gilt n = p n 1 + q n 2 , p , q R , wobei p und q nicht gleichzeitig null sind.

Ersetzt man nun n durch die Linearkombination aus n 1 u n d n 2 in der Gleichung von g, so erhält man:
      ( x p 0 ) ( p n 1 + q n 2 ) = 0 o d e r ( x p 0 ) p n 1 + ( x p 0 ) q n 2 = 0 b z w . p ( x p 0 ) n 1 + q ( x p 0 ) n 2 = 0

Damit lässt sich das durch P 0 bestimmte Geradenbüschel in der Ebene (und damit jede Gerade durch P 0 ) als eine Linearkombination der Gleichungen von zwei Geraden g 1 u n d g 2 des Büschels auffassen.

  • Satz: Sind g 1 : ( x p 0 ) n 1 = 0 u n d g 2 : ( x p 0 ) n 2 = 0 zwei voneinander verschiedene Geraden durch P 0 , so beschreibt p ( x p 0 ) n 1 + q ( x p 0 ) n 2 = 0, ( p , q , p , q n i c h t g l e i c h z e i t i g n u l l ) das zu P 0 gehörende Geradenbüschel.

Beschreibt man die beiden zueinander nicht parallelen Geraden g 1 u n d g 2 durch ihre Gleichungen in allgemeiner Form
      g 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 u n d g 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 = 0,    
so beschreibt in analoger Weise
Bild
das durch g 1 u n d g 2 bestimmte Geradenbüschel.

Das heißt: Bei geeigneter Wahl der Parameter p und q lässt sich mit p ( a 1 x + b 1 y + c 1 ) + q ( a 2 x + b 2 y + c 2 ) = 0 die Gleichung jeder Geraden durch denSchnittpunkt P 0 von g 1 u n d g 2 beschreiben.

Bedenkt man nun, dass zur Bestimmung von P 0 die Gleichungen von g 1 u n d g 2 als lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten aufgefasst werden können, dann bedeutet das Lösen dieses Systems jetzt: Man bestimme die Gleichungen der beiden Geraden des durch g 1 u n d g 2 gebildeten Geradenbüschels, die zu den Koordinatenachsen parallel sind.

  • Beispiel: Betrachtet werden die beiden Geraden mit den Gleichungen
    g 1 : 3 x + 4y - 16 = 0 und
    g 2 : x - 2y - 2 = 0.
Spezielles Geradenbüschel in der Ebene

Spezielles Geradenbüschel in der Ebene

Die Gleichung p ·(3x + 4y - 16) + q · (x - 2y - 2) = 0 bzw.
(3p + q) x + (4p - 2q) y - (16p + 2q) = 0 ( p , q R ) (*)
beschreibt dann eine beliebige Gerade des Geradenbüschels, das durch g 1 u n d g 2 aufgespannt wird.

Zur Bestimmung der Koordinaten des Schnittpunktes P 0 von g 1 u n d g 2 werden die Gleichungen der Geraden des Büschels ermittelt, die parallel zu den Koordinatenachsen sind, also Gleichungen vom Typ x = a bzw. y = b besitzen.

Die Gerade des Büschels, die zur x-Achse parallel ist, erhält man, wenn der Koeffizient von x in (*) gleich 0 ist, also 3p + q = 0 gilt. Dies ist z. B. für p = 1 und q = -3 erfüllt. Mit diesen Werten wird (*) zu 10y -10 = 0, also y = 1.

Die Gerade des Büschels, die zur y-Achse parallel ist, erhält man analog, wenn der Koeffizient von y in (*) gleich null ist, also wenn 4p - 2q = 0 gilt. Das ist z. B. für p = 1 und q = 2 erfüllt. Mit diesen Werten wird (*) zu 5x - 20 = 0, also x = 4.
Damit ist aber P 0 ( 4 ; 1 ) der Schnittpunkt von g 1 u n d g 2 .

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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