Geradenbüschel in der Ebene

Definition: Die Menge der Geraden der Ebene, die durch einen festen Punkt $P_{0}$ geht, heißt Geradenbüschel.

Schnittpunkt zweier Geraden eines Büschels

Da der Punkt $P_{0}$ schon als Schnittpunkt von zwei Geraden eines Büschels eindeutig bestimmt ist, kann man feststellen, dass jedes Geradenbüschel der Ebene durch zwei seiner Geraden $g_{1} u n d g_{2}$ eindeutig festgelegt ist.

Allgemeiner formuliert gilt sogar:
Zwei Geraden der Ebene, die nicht parallel zueinander sind, bestimmen eindeutig ein Geradenbüschel.

Um eine analytische Beschreibung eines Geradenbüschels zu gewinnen, werden zunächst zwei voneinander verschiedene Geraden $g_{1} u n d g_{2}$ betrachtet, die durch den Punkt $P_{0}$ gehen. Jede dieser beiden Geraden lässt sich z. B. durch den Ortsvektor ${\vec{p}}_{0}$ zum Punkt $P_{0}$ und einen zugehörigen Normalenvektor $\vec{n}$ beschreiben.

Normalenvektoren zweier Geraden eines Büschels

Aufgrund der Eigenschaft des Skalarprodukts zweier Vektoren gilt dann:
$\begin{array}{l} g_{1} : (\vec{x} - {\vec{p}}_{0}) \cdot {\vec{n}}_{1} = 0 \\ g_{2} : (\vec{x} - {\vec{p}}_{0}) \cdot {\vec{n}}_{2} = 0 \end{array}$

Jede andere Gerade g durch $P_{0}$ kann ebenfalls durch den Ortsvektor zu $P_{0}$ und einen Normalenvektor beschrieben werden. Es gilt dann:
$g : (\vec{x} - {\vec{p}}_{0}) \cdot \vec{n} = 0$

Bedenkt man jetzt, dass $g_{1} u n d g_{2}$ nicht parallel zueinander sind, so sind auch die beiden Normalenvektoren ${\vec{n}}_{1} u n d {\vec{n}}_{2}$ nicht parallel zueinander bzw. sie sind linear unabhängig voneinander.

Folglich lässt sich der Vektor $\vec{n}$ als Linearkombination von ${\vec{n}}_{1} u n d {\vec{n}}_{2}$ auffassen.
Es gilt $\vec{n} = p \cdot {\vec{n}}_{1} + q \cdot {\vec{n}}_{2}, p, q \in R$ , wobei p und q nicht gleichzeitig null sind.

Ersetzt man nun $\vec{n}$ durch die Linearkombination aus ${\vec{n}}_{1} u n d {\vec{n}}_{2}$ in der Gleichung von g, so erhält man:
$\begin{matrix} (\vec{x} - {\vec{p}}_{0}) \cdot (p \cdot \vec{n}_{1} + q \cdot {\vec{n}}_{2}) = 0 o d e r \\ (\vec{x} - {\vec{p}}_{0}) \cdot p \cdot {\vec{n}}_{1} + (\vec{x} - {\vec{p}}_{0}) \cdot q \cdot {\vec{n}}_{2} = 0 b z w . \\ p \cdot (\vec{x} - {\vec{p}}_{0}) \cdot {\vec{n}}_{1} + q \cdot (\vec{x} - {\vec{p}}_{0}) \cdot {\vec{n}}_{2} = 0 \end{matrix}$

Damit lässt sich das durch $P_{0}$ bestimmte Geradenbüschel in der Ebene (und damit jede Gerade durch $P_{0}$ ) als eine Linearkombination der Gleichungen von zwei Geraden $g_{1} u n d g_{2}$ des Büschels auffassen.

Satz: Sind $g_{1} : (\vec{x} - {\vec{p}}_{0}) \cdot \vec{n}_{1} = 0 u n d g_{2} : (\vec{x} - {\vec{p}}_{0}) \cdot \vec{n}_{2} = 0$ zwei voneinander verschiedene Geraden durch $P_{0}$ , so beschreibt $p \cdot (\vec{x} - {\vec{p}}_{0}) \cdot {\vec{n}}_{1} + q \cdot (\vec{x} - {\vec{p}}_{0}) \cdot {\vec{n}}_{2} = 0, (p, q \in ℝ, p, q n i c h t g l e i c h z e i t i g n u l l)$ das zu $P_{0}$ gehörende Geradenbüschel.

Beschreibt man die beiden zueinander nicht parallelen Geraden $g_{1} u n d g_{2}$ durch ihre Gleichungen in allgemeiner Form
$\begin{matrix} g_{1} : a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0 u n d \\ g_{2} : a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0, \end{matrix}$
so beschreibt in analoger Weise

das durch $g_{1} u n d g_{2}$ bestimmte Geradenbüschel.

Das heißt: Bei geeigneter Wahl der Parameter p und q lässt sich mit $p \cdot (a_{1} x + b_{1} y + c_{1}) + q \cdot (a_{2} x + b_{2} y + c_{2}) = 0$ die Gleichung jeder Geraden durch denSchnittpunkt $P_{0}$ von $g_{1} u n d g_{2}$ beschreiben.

Bedenkt man nun, dass zur Bestimmung von $P_{0}$ die Gleichungen von $g_{1} u n d g_{2}$ als lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten aufgefasst werden können, dann bedeutet das Lösen dieses Systems jetzt: Man bestimme die Gleichungen der beiden Geraden des durch $g_{1} u n d g_{2}$ gebildeten Geradenbüschels, die zu den Koordinatenachsen parallel sind.

Beispiel: Betrachtet werden die beiden Geraden mit den Gleichungen
$g_{1}$ : 3 x + 4y - 16 = 0 und
$g_{2}$ : x - 2y - 2 = 0.

Spezielles Geradenbüschel in der Ebene

Die Gleichung p ·(3x + 4y - 16) + q · (x - 2y - 2) = 0 bzw.
(3p + q) x + (4p - 2q) y - (16p + 2q) = 0 $(p, q \in R)$ (*)
beschreibt dann eine beliebige Gerade des Geradenbüschels, das durch $g_{1} u n d g_{2}$ aufgespannt wird.

Zur Bestimmung der Koordinaten des Schnittpunktes $P_{0}$ von $g_{1} u n d g_{2}$ werden die Gleichungen der Geraden des Büschels ermittelt, die parallel zu den Koordinatenachsen sind, also Gleichungen vom Typ x = a bzw. y = b besitzen.

Die Gerade des Büschels, die zur x-Achse parallel ist, erhält man, wenn der Koeffizient von x in (*) gleich 0 ist, also 3p + q = 0 gilt. Dies ist z. B. für p = 1 und q = -3 erfüllt. Mit diesen Werten wird (*) zu 10y -10 = 0, also y = 1.

Die Gerade des Büschels, die zur y-Achse parallel ist, erhält man analog, wenn der Koeffizient von y in (*) gleich null ist, also wenn 4p - 2q = 0 gilt. Das ist z. B. für p = 1 und q = 2 erfüllt. Mit diesen Werten wird (*) zu 5x - 20 = 0, also x = 4.
Damit ist aber $P_{0} (4; 1)$ der Schnittpunkt von $g_{1} u n d g_{2}$ .

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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