Ebenengleichungen

Eine Gerade in der xy-Ebene wird durch die Gleichung
$ax+by+d=0\left(mit{a}^2+b^2>0\right)\left(1\right)$
beschrieben, und jede Gerade dieser Ebene lässt sich durch eine solche Gleichung beschreiben.

Analog dazu wollen wir nun überlegen, welche Punktmenge des Raumes durch die Gleichung
$ax+by+cz+d=0\left(mit{a}^2+b^2+c^2>0\right)\left(2\right)$
beschrieben wird.
Wo liegen also die Punkte $X\left(x;y;z\right),$ deren Koordinaten die Gleichung (2) erfüllen?

Eine Beantwortung dieser Frage ist nicht sehr schwierig, wenn man beispielsweise an Folgendes denkt:
Eine ähnliche Summe wie in Gleichung (2) ist uns bisher nicht nur bei Geraden in der Ebene, sondern auch beim Skalarprodukt begegnet.
Definiert man den Vektor
$\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right),$
so lässt sich Gleichung (2) mit dem Ortsvektor $\overrightarrow{x}$ zum Punkt X auch wie folgt aufschreiben:$\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{x}=-d\left(mit\left|\overrightarrow{n}\right|\ne 0\right)\left(3\right)$

Durch die Gleichungen (2) und (3) werden also alle Punkte X des Raumes beschrieben, die dieselbe Normalprojektion des zugehörigen Ortsvektors $\overrightarrow{x}$ in Richtung des Vektors $\overrightarrow{n}$ besitzen.
Die folgende Abbildung zeigt zwei derartige Punkte $P_{1}und{P}_2,$ die Projektionen der Ortsvektoren $\overrightarrow{p_1}und\overrightarrow{p_2}$ sind dabei rot markiert.

Aus dieser Abbildung wird auch deutlich, dass alle diese durch (2) und (3) beschriebenen Punkte eine Ebene $\epsilon$ bilden, auf der der Vektor $\overrightarrow{n}$ senkrecht steht.

Ist P ein Punkt dieser Ebene $\epsilon$, so lässt sich Gleichung (3) auch wie folgt aufschreiben:
$\begin{array}{l}\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{p}\left(mit\left|\overrightarrow{n}\right|\ne 0\right)\\ bzw.\\ \overrightarrow{n}\cdot \left(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}\right)=0\left(mit\left|\overrightarrow{n}\right|\ne 0\right)\left(4\right)\end{array}$

Häufig multipliziert man (4) noch mit $\frac{1}{\left|\overrightarrow{n}\right|}$ und erhält mit $\overrightarrow{n_0}=\frac{\overrightarrow{n}}{\left|\overrightarrow{n}\right|}$ die folgende Gleichung: $\overrightarrow{n_0}\cdot \left(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}\right)=0\left(5\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{n_0}$ hat den Betrag 1 und steht senkrecht auf $\epsilon$, daher wird er auch Orthonormalenvektor der Ebene $\epsilon$ genannt.
Anmerkung: Offenbar gibt es zu jeder Ebene $\epsilon$ genau zwei verschiedene Orthonormalenvektoren.

Durch die Gleichungen (2), (4) und (5) werden also Ebenen im Raum beschrieben und offenbar kann umgekehrt jede Ebene des Raumes auf diese Weise beschrieben werden. Die Gleichung (2) heißt auch Koordinatengleichung oder parameterfreie Gleichung der Ebene, eine Gleichung der Form (4) heißt Normal(en)form und eine Gleichung der Form (5) hessesche Normal(en)form der Gleichung einer Ebene im Raum.

Ist $d\ne 0$ und jeder der Koeffizienten a, b und c in Gleichung (2) von null verschieden, so erhält man durch Division dieser Gleichung durch die Zahl $-d$ die Achsenabschnittsgleichung einer Ebene in folgender Form:
$\frac{x}{x_S}+\frac{y}{y_S}+\frac{z}{z_S}=1\left(6\right)$
Hieraus lassen sich die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen direkt ablesen:$S_x\left(x_S;0;0\right),S_y\left(0;y_S;0\right),S_z\left(0;0;z_S\right)$

Aus Erfahrung weiß man, dass ein dreibeiniger Tisch im Gegensatz zu Tischen mit vier oder mehr Beinen (fast immer) sicher steht. Dies hat eine einfache mathematische Ursache: Drei Punkte liegen stets in einer Ebene des Raumes. Auch umgekehrt ist durch drei Punkte, die nicht alle auf derselben Geraden liegen, eine Ebene im Raum eindeutig bestimmt. Dies ist anschaulich klar. Aber lässt es sich auch mathematisch fassen? Wie kann die durch drei nichtkollineare Punkte A, B und C festgelegte Ebene $\epsilon$ „mathematisch“ beschrieben werden?
Dazu muss man der Frage nachgehen, was Punkte X dieser Ebene von anderen Punkten des Raumes (in Bezug auf die Punkte A, B und C) unterscheidet.
Wir betrachten die (verschiedenen) Geraden g und h durch die Punkte A und B sowie A und C. Will man nun den Schnittpunkt A dieser Geraden auf einen beliebigen Punkt X von $\epsilon$ verschieben, so gelingt dies immer, indem man A erst ein Stück entlang der Geraden g und anschließend parallel zu h verschiebt (man könnte auch umgekehrt den Punkt A erst auf der Geraden h und anschließend parallel zu g verschieben). Der Punkt A kann also durch Hintereinanderausführen zweier Verschiebungen parallel zu g bzw. h auf jeden Punkt X der Ebene $\epsilon$ abgebildet werden.

Betrachtet man die durch die Punkte A, B, C und X bestimmten Vektoren, so heißt dies nichts anderes, als dass sich der Vektor $\overrightarrow{x}-\overrightarrow{a}$ als Linearkombination der Vektoren $\overrightarrow{u}:=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}und\overrightarrow{v}:=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$ darstellen lässt. Anhand der folgenden Abbildung wird deutlich, dass diese Darstellung des Vektors $\overrightarrow{x}-\overrightarrow{a}$ als Linearkombination von $\overrightarrow{u}und\overrightarrow{v}$ eindeutig ist.

Ebenso wichtig ist, dass diese Aussagen nur für Punkte der Ebene $\epsilon$ gelten. Liegt ein Punkt P nicht in dieser Ebene, so kann der Punkt A durch eine Hintereinanderausführen von Verschiebungen parallel zu den Geraden g und h nicht auf P abgebildet werden. Damit verfügen wir über eine weitere Ebenengleichung:
$\begin{array}{l}\overrightarrow{x}-\overrightarrow{a}=r\overrightarrow{u}+s\overrightarrow{v}\\ bzw.\\ \overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+r\overrightarrow{u}+s\overrightarrow{v}\left(r,s\in ℝ\right)(7)\end{array}$
Erinnern wir uns an die Definition der Vektoren $\overrightarrow{u}und\overrightarrow{v},$ so lässt sich Gleichung (7) auch wie folgt schreiben:
$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+r\left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\right)+s\left(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}\right)\left(r,s\in ℝ\right)(8)$