Ebenenbüschel im Raum

Da die Gerade $g_0$ schon als Schnittgerade von zwei Ebenen des Büschels eindeutig bestimmt ist, kann man sagen, dass jedes Ebenenbüschel im Raum durch zwei seiner Ebenen ${\epsilon }_{1}und{\epsilon }_2$ eindeutig bestimmt ist.

Es ist dann ${\epsilon }_1:\left(\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{p}}_0\right)\cdot {\overrightarrow{n}}_1=0und{\epsilon }_2:\left(\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{p}}_0\right)\cdot {\overrightarrow{n}}_2=0$

Jede andere Ebene $\epsilon$, die $g_0$ enthält, enthält auch $P_0$ und kann ebenfalls durch den Ortsvektor zu $P_0$ und einen Normalenvektor beschrieben werden. Es gilt dann:
$\epsilon :\left(\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{p}}_0\right)\cdot \overrightarrow{n}=0$

Weil ${\epsilon }_{1}und{\epsilon }_2$ nicht parallel zueinander sind, sind auch $\overrightarrow{n}{}_{1}und\overrightarrow{n}{}_2$ nicht parallel zueinander, d.h., die beiden Normalenvektoren sind linear unabhängig voneinander.

Darüber hinaus sind die Vektoren ${\overrightarrow{n}}_1,\overrightarrow{n}{}_{2}und\overrightarrow{n}$ jeweils senkrecht zu $g_0$ und liegen folglich in einer (zu $g_0$ senkrechten) gemeinsamen Ebene. Damit lässt sich der Vektor $\overrightarrow{n}$ als Linearkombination von $\overrightarrow{n}{}_{1}und\overrightarrow{n}{}_2$ auffassen:
$\overrightarrow{n}=p\cdot {\overrightarrow{n}}_1+q\cdot {\overrightarrow{n}}_2,p,q\in ℝ,pundqnichtgleichzeitignull$

Unter Verwendung dieses Resultats erhält man aus der obigen Gleichung von $\epsilon$:
$\begin{array}{c} \left(\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{p}}_0\right)\cdot \left(p\cdot {\overrightarrow{n}}_1+q\cdot {\overrightarrow{n}}_2\right)=0oder\\ \left(\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{p}}_0\right)\cdot p\cdot {\overrightarrow{n}}_1+\left(\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{p}}_0\right)\cdot q\cdot {\overrightarrow{n}}_2=0bzw.\\ p\cdot \left(\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{p}}_0\right)\cdot {\overrightarrow{n}}_1+q\cdot \left(\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{p}}_0\right)\cdot {\overrightarrow{n}}_2=0\\ \end{array}$

Damit lässt sich das durch $g_0$ bestimmte Ebenenbüschel im Raum und damit jede Ebene, die $g_0$ enthält, als eine Linearkombination der Gleichungen von zwei Ebenen ${\epsilon }_{1}und{\epsilon }_2$ des Büschels auffassen.

• Satz: Sind ${\epsilon }_1:\left(\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{p}}_0\right)\cdot {\overrightarrow{n}}_1=0und{\epsilon }_2:\left(\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{p}}_0\right)\cdot {\overrightarrow{n}}_2=0$ zwei voneinander verschiedene Ebenen, die die Gerade $g_0$ mit dem Stützpunkt $P_0$ enthalten, so beschreibt
  $p\cdot \left(\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{p}}_0\right)\cdot {\overrightarrow{n}}_1+q\cdot \left(\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{p}}_0\right)\cdot {\overrightarrow{n}}_2=0(p,q\in ℝ,p,qnichtgleichzeitignull)$
  das zu $g_0$ gehörende Ebenenbüschel.

Kennzeichnet man die beiden zueinander nicht parallelen Ebenen ${\epsilon }_{1}und{\epsilon }_2$ durch ihre Gleichungen in allgemeiner Form, also
$\begin{array}{l} {\epsilon }_1:a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_1=0und\\ {\epsilon }_2:a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_2=\mathrm{0,} \end{array}$
so beschreibt in analoger Weise

das durch ${\epsilon }_{1}und{\epsilon }_2$ bestimmte Ebenenbüschel.

Damit kann man bei geeigneter Wahl von p und q mit
$p\cdot \left(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_1\right)+q\cdot \left(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_2\right)=0$
die Gleichung jeder Ebene beschreiben, die die Schnittgerade von ${\epsilon }_{1}und{\epsilon }_2$ mit dem Stützpunkt $P_0$ enthält.