- Lexikon
- Mathematik Abitur
- 6 Differenzialrechnung
- 6.1 Grundbegriffe der Differenzialrechnung
- 6.1.2 Differenzierbarkeit und Stetigkeit
- Differenzierbarkeit von Funktionen
Der Begriff der Differenzierbarkeit einer Funktion lässt sich folgendermaßen definieren:
Äquivalent zu dieser Definition ist die folgende:
Im Folgenden geben wir eine geometrische Deutung der Differenzierbarkeit.
Die Gleichung bestimmt eine Gerade mit der Steigung durch den Punkt Sie heißt Tangente an den Graphen von f in oder in Differenzierbarkeit einer Funktion in bedeutet, dass der Graph dieser Funktion in eine nicht zur y-Achse parallele Tangente besitzt.
Eine Funktion kann an einer Stelle stetig, aber nicht differenzierbar sein.
Anmerkung (Tangente in Analysis und Geometrie):
Die Wurzelfunktion w mit ist in nicht differenzierbar, die Analysis liefert daher in keine Tangente an das Schaubild von w. Aus der Anschauung (Geometrie) entnehmen wir, dass man die y-Achse in diesem Punkt als Tangente auffassen könnte. Weil die y-Achse nicht Schaubild einer linearen Funktion ist, kann sie aber nicht als Schaubild einer Tangentenfunktion gewonnen werden.
Obwohl nicht jede stetige Funktion differenzierbar ist, ist jede differenzierbare Funktion stetig.
Der Begriff der Differenzierbarkeit ist hier nur für offene Intervalle erklärt worden, er lässt sich z.B. auf abgeschlossene Intervalle verallgemeinern. Man untersucht dann in den Randpunkte die rechts- bzw. linksseitigen Grenzwerte und spricht von rechts- bzw. linksseitigen Halbtangenten.
Wegen ist der Definitionsbereich dieser Funktion d.h., g ist nur für definiert, 0 und 5 sind folglich Randpunkte. Es ist:
Die Funktion g ist also in 0 nicht (rechtsseitig) differenzierbar und hat dort keine Halbtangente (zumindest keine, die sich als Funktion von x schreiben lässt). In 5 ist g linksseitig differenzierbar, die Halbtangente hat die Steigung 0.
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