Differenzialgleichungen zur Beschreibung des Lade- und Entladevorgangs eines Kondensators

Gleichstromkreis mit Spannungsquelle, Kondensator und ohmschen Widerstand

Gleichstromkreis mit Spannungsquelle, Kondensator und ohmschen Widerstand

Aus der allgemeinen Lösung
y = f ( x ) = { c + s x , w e n n q = 0 c e q x + s q , w e n n q 0 m i t c k o n s tan t
erhält man als Lösung der Gleichung:
Q ( t ) = c e t R C + U 0 C

Nun werden die Anfangswertprobleme für den Lade- und Entladevorgang des Kondensators gelöst. Beim Laden liefert die Spannungsquelle die Spannung U 0 ; zu Beginn des Ladevorgangs befindet sich noch keine Ladung auf dem Kondensator. Beim Entladen liegt keine äußere Spannung an, der Kondensator verfügt bei t = 0 über eine Spannung U C 0 = U C ( 0 ) und trägt demzufolge die Ladung Q 0 = U C 0 C .

 LadevorgangEntladevorgang
Bedingungen U 0 0, Q ( 0 ) = 0 U 0 = 0, Q ( 0 ) = Q 0 = U C 0 C
Gleichung lösen Q ( t ) = c e 1 R C + U 0 C Q ( 0 ) = 0 = c + U 0 C c = U 0 C Q ( t ) = c e 1 R C Q ( 0 ) = U C 0 C = c c = U C 0 C
partikuläre
Lösung für Q
Q ( t ) = U 0 C e 1 R C + U 0 C Q ( t ) = U 0 C ( 1 e 1 R C ) Q ( t ) = U C 0 C e 1 R C
Spannung am
Kondensator
U C = Q C
U C ( t ) = U 0 ( 1 e 1 R C ) U C ( t ) = U C 0 e 1 R C
Spannung am
Kondensator mit Bild
U C ( t ) = 40 V ( 1 e 10 s 1 t ) U C ( t ) = 40 V e 10 s 1 t

Wir betrachten nun den folgenden Spannungsverlauf für einen Lade- und einen Entladevorgang. Die Kapazität des Kondensators beträgt C = 100 n F . Die Spannungsquelle hat beim Einschalten eine Spannung von 40 V, die gleiche Spannung hat auch der Kondensator beim Abschalten. Der ohmsche Widerstand beträgt 1000 k Ω   .

Spannungsverlauf für einen Lade- und einen Entladevorgang eines Kondensators

Spannungsverlauf für einen Lade- und einen Entladevorgang eines Kondensators

Um eine geeignete Einteilung der Zeitachse zu ermöglichen, wird zuerst diejenige Zeit t h ermittelt, die verstreicht, bis der Kondensator mit einer Spannung von 40 V zur Hälfte entladen ist:
U C ( t h ) = U C 0 2 = U C 0 e t h R C , a l s o 1 2 = e t h R C u n d d a m i t ln 2 = t h R C o d e r t h = ln 2 R C = 0,693 10 6 V A 10 7 A s V = 6,93 10 2 s = 69,3 m s

Die grafische Darstellung erfolgt mit Blick auf die Halbwertszeit im Zeitintervall von 0 bis 0,4 s bzw. von 0 bis 400 ms. Ferner gilt R C = 10 6 V A 10 7 A s V = 10 1 s .

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

Lexikon Share
Lernprobleme in Mathe?
 

Mit deinem persönlichen Nachhilfe-Tutor Kim & Duden Learnattack checkst du alles. Jetzt 30 Tage risikofrei testen.

  • KI-Tutor Kim hilft bei allen schulischen Problemen
  • Individuelle, kindgerechte Förderung in Dialogform
  • Lernplattform für 9 Fächer ab der 4. Klasse
  • Über 40.000 Erklärvideos, Übungen & Klassenarbeiten
  • Rund um die Uhr für dich da

Einloggen