Differenzialgleichungen zur Beschreibung des elektromagnetischen Schwingkreises

Da es sich um einen geschlossenen Stromkreis ohne Spannungsquelle handelt, gilt:
$U_{IN}+U_R+U_C=0bzw.L\cdot l\prime \left(t\right)+R\cdot I\left(t\right)+\frac{Q\left(t\right)}{C}=0$ (1)

Da $Q\prime \left(t\right)=I\left(t\right)$ gilt, erhält man durch Differenzieren der Gleichung (1) folgende Differenzialgleichung:
$L\cdot l″\left(t\right)+R\cdot I\prime \left(t\right)+\frac{I\left(t\right)}{C}=0$ bzw. $l″\left(t\right)+\frac{R}{L}l\prime \left(t\right)+\frac{1}{LC}l\left(t\right)=0$ (2)

Hierbei handelt es sich um eine lineare homogene Differenzialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten der Form
$f″\left(x\right)+qf\prime \left(x\right)+rf\left(x\right)=0mitq=\frac{R}{L}undr=\frac{1}{LC}$.

Als Lösungsansatz verwendet man die Exponentialfunktion $f(x)=e^{kx}$, für die k zu bestimmen ist. Die Gleichung zur Bestimmung von k heißt die charakteristische Gleichung der Differenzialgleichung.

Die zur Differenzialgleichung (2) gehörende charakteristische Gleichung lautet $k^2+\frac{R}{L}k+\frac{1}{LC}=0$ mit der Lösung $k_{1/2}=-\frac{R}{2L}\pm \sqrt{\frac{R^2}{4L^2}-\frac{1}{LC}}.$ (3)

Mit den Lösungen $k_{1}und{k}_2$ erhält man als allgemeine Lösung der Differenzialgleichung $f″\left(x\right)+qf\prime \left(x\right)+rf\left(x\right)=0mitq=\frac{R}{L}undr=\frac{1}{LC}$:

$\begin{array}{l}f(x)=\left\{\begin{array}{cc}{c}_1\cdot e^{k_{1}x}+c_2\cdot e^{k_{2}x}& fürr<\frac{q^2}{4}\\ \begin{array}{c}{c}_1\cdot e^{kx}+c_2\cdot x\cdot e^{kx}\\ c_1\cdot e^{-\frac{q}{2}\cdot x}\cos \omega x+c_2\cdot e^{-\frac{q}{2}\cdot x}\sin \omega x\end{array}& \begin{array}{c}fürr=\frac{q^2}{4},k_1=k_2=k\\ fürr>\frac{q^2}{4},\omega =\sqrt{r-\frac{q^2}{4}}\end{array}\end{array}\right\}\\ mit{c}_1,c_{2}kons\tan t\end{array}$

Demnach hängt das Lösungsverhalten vom Größenvergleich zwischen $r=\frac{1}{LC}und\frac{q^2}{4}=\frac{R^2}{4L^2}$ ab.

Beispiel

Es wird ein Schwingkreis betrachtet mit $L=\mathrm{0,1}H=\mathrm{0,1}\frac{Vs}{A}undC=10\mu F={10}^{-5}F={10}^{-5}\frac{As}{V}$.

Für den Fall reeller Doppellösungen in Gleichung (3) erhält man $\frac{R^2}{4L^2}=\frac{1}{LC}$ und daraus $R=200\Omega .$

Im Weiteren werden vier Fälle betrachtet:

Als partikuläre Lösung für $U_C\left(0\right)=10V,l\left(0\right)=0$ ergeben sich dann:

$\begin{array}{l}Kriechfall:\\ l_1\left(t\right)=-\mathrm{0,0129}A\cdot e^{-\mathrm{127,02}{s}^{-1}\cdot t}+\mathrm{0,0129}A\cdot e^{-\mathrm{7872,98}{s}^{-1}\cdot t}\\ aperiodischerGrenzfall:\\ l_2\left(t\right)=-100A{s}^{-1}t\cdot e^{-1000s^{-1}\cdot t}\\ gedämpfteSchwingungen:\\ I_3\left(t\right)=e^{-250s^{-1}\cdot t}\cdot \mathrm{0,1033}A\sin \mathrm{968,25}{s}^{-1}t\\ ungedämpfteSchwingungen:\\ l_4\left(t\right)=-\mathrm{0,1}A\sin 1000s^{-1}t\end{array}$

Hinweis: Wenn $l=\mathrm{0,}dannist{U}_R=\mathrm{0,}also{U}_{IN}=-U_C=-10V$ und damit $l\prime \left(0\right)=-\frac{10V}{\mathrm{0,1}H}=-100A{s}^{-1}.$

Die Stromstärkeverläufe für die vier verschiedenen Widerstände sind in der folgenden Abbildung grafisch dargestellt. Man erkennt, wie sich die wachsenden Widerstandsgrößen auf die Kurven für die zugehörigen Stromstärken auswirken.