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Da es sich um einen geschlossenen Stromkreis ohne Spannungsquelle handelt, gilt:
(1)
Da gilt, erhält man durch Differenzieren der Gleichung (1) folgende Differenzialgleichung:
bzw. (2)
Hierbei handelt es sich um eine lineare homogene Differenzialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten der Form
.
Als Lösungsansatz verwendet man die Exponentialfunktion , für die k zu bestimmen ist. Die Gleichung zur Bestimmung von k heißt die charakteristische Gleichung der Differenzialgleichung.
Die zur Differenzialgleichung (2) gehörende charakteristische Gleichung lautet mit der Lösung (3)
Mit den Lösungen erhält man als allgemeine Lösung der Differenzialgleichung :
Demnach hängt das Lösungsverhalten vom Größenvergleich zwischen ab.
Beispiel
Es wird ein Schwingkreis betrachtet mit .
Für den Fall reeller Doppellösungen in Gleichung (3) erhält man und daraus
Im Weiteren werden vier Fälle betrachtet:
| | |
Lösungen der char. Gleichung | zwei reelle Lösungen | eine reelle Doppellösung |
Kreisfrequenz | keine Schwingung | keine Schwingung |
allg. Lösung der Differenzialgl. | | |
| | |
Lösungen der char. Gleichung | zwei komplexe Lösungen | zwei komplexe Lösungen |
Kreisfrequenz | | |
allg. Lösung der Differenzialgl. | | |
Als partikuläre Lösung für ergeben sich dann:
Hinweis: Wenn und damit
Die Stromstärkeverläufe für die vier verschiedenen Widerstände sind in der folgenden Abbildung grafisch dargestellt. Man erkennt, wie sich die wachsenden Widerstandsgrößen auf die Kurven für die zugehörigen Stromstärken auswirken.