Die elektrische Spannung

Berechnung der Arbeit

Die Gleichung für die Berechnung der Arbeit lautet:
$W=\Delta E_{pot}=-F\cdot smitF=\frac{1}{4\pi \cdot {\epsilon }_0}\cdot \frac{Q\cdot q}{r^2}$

Dabei betrachten wir nur die radiale Verschiebung einer Ladung q im Feld einer Ladung Q, weil bei einer Bewegung einer Probeladung q in tangentialer Richtung keine Arbeit verrichtet wird. Wir müssen also die Gleichungen nicht vektoriell schreiben.

Dann erhalten wir:
$W=-F\cdot \left(r_2-r_1\right)=-\Delta E\cdot q\cdot r_2-r_1=\Delta E_{pot}$

Die Schreibweise des Vorzeichens ist ganz konsequent. Ist die Probeladung q negativ, dann ergibt sich die Arbeit positiv, wir verrichten Arbeit und die potenzielle Energie nimmt zu. Wenn Q eine Punktladung ist, dann müssen wir für den Abstand im coulombschen Gesetz einen mittleren Wert zwischen $r_{1}und{r}_2$ einsetzen.

Wir schreiben statt $r^2$ im Nenner $r_1\cdot r_2,$ also $F=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot \frac{Q\cdot q}{r_1\cdot r_2}$ und erhalten

$W=\Delta E_{pot}=-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot \frac{Q\cdot q}{r_1\cdot r_2}\cdot \left(r_2\cdot r_1\right)=-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot Q\cdot q\cdot \left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right).$

Mithilfe der Integralrechnung lässt sich zeigen, dass dieses vereinfachte Vorgehen exakt ist:
$\begin{array}{l} W=\Delta E_{pot}=-{\displaystyle \underset{r_1}{\overset{r_2}{\int }}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}=-{\displaystyle \underset{r_1}{\overset{r_2}{\int }}\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}}}\cdot \frac{Q\cdot q}{r^2}\cdot dr\\ =-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot Q\cdot q\cdot {\displaystyle \underset{r_1}{\overset{r_2}{\int }}\frac{dr}{r^2}}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot Q\cdot q\cdot \frac{1}{r}|{}_{r_2}^{r_1}\\ =\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot Q\cdot q\cdot \left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right) \end{array}$

Wir haben hier die Änderung der potenziellen Energie, die gleich der verrichteten Arbeit ist, berechnet. Will man die potenzielle Energie selbst angeben, dann muss man einen willkürlichen Ausgangspunkt wählen, an dem die Bewegung beginnt. Welchen Ort soll man in dieser Weise bevorzugen? Eine völlig willkürliche Festlegung können wir nicht akzeptieren und r = 0 ist nicht möglich, weil dort die Kraft unendlich groß wäre. Man hat dafür einen unendlich fernen Punkt festgelegt, also $r_1\to \infty ,$ wobei wir dann r statt $r_2$ schreiben.

Wir erhalten:
$E_{pot}\left(r\right)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot \frac{Q\cdot q}{r}$
In unendlicher Entfernung ist damit $E_{pot}=0.$ Bei anziehender Kraft (ungleichartige Ladungen) wie auch im Gravitationsfeld wird dann bei Annäherung der Ladungen Arbeit freigesetzt. Damit sinkt die potenzielle Energie, sie wird negativ.

Beispiel
Die Erde trägt eine Ladung $Q=-{10}^{6}C.$ In der höheren Atmosphäre (60 bis 1000 km) sind $q=+{10}^{6}C$ verteilt. Wir nehmen zur Vereinfachung an, dass diese Ladung in der Höhe von 200 km gleichmäßig über der Erde verteilt ist. Für r haben wir dann den Abstand vom Erdmittelpunkt einzusetzen, also $r=6580km=\mathrm{6,58}\cdot {10}^{6}m$.

Wir erhalten $E_{pot}=\frac{-{10}^6\cdot {10}^6{A}^2{s}^2}{4\pi \cdot \mathrm{8,85}\cdot {10}^{-12}\frac{As}{Vm}\cdot \mathrm{6,58}\cdot {10}^{6}m}=-\mathrm{1,37}\cdot {10}^{15}J,$
eine gewaltige Energiemenge. Diese wird frei, wenn q aus großer Entfernung bis auf 200 km an die Erde herangebracht wird.

Noch größer wird die Energie, wenn q bis zur Erdoberfläche gebracht wird. Wir müssen für r jetzt den Erdradius (6380 km) einsetzen und erhalten $E_{pot}=-\mathrm{1,41}\cdot {10}^{15}J.$
Der Differenzbetrag $\Delta E=4\cdot {10}^{13}J$ wird frei, wenn q aus der hohen Atmosphäre zur Erdoberfläche gelangt. Wird die Ladung q von der Erde in die Höhe von 200 km gebracht, ist eine Arbeit von $4\cdot {10}^{13}J$ zu verrichten. Damit könnte man etwa 200 Lokomotiven (20.000 t) in die gleiche Höhe bringen!

Potenzial und elektrische Spannung

Um die Größe Spannung zu erhalten, benötigen wir den Begriff des Potenzials. Man nutzt ihn häufig bei technischen Anwendungen. So findet man in elektrischen Schaltplänen oft an Punkten Angaben wie „Potenzial 4V“. Der Fachmann weiß dann, dass diese Angabe auf „Masse“ bezogen wird, also auf einen genau festgelegten Ort. In Geräten und Schaltplänen kann das natürlich nicht ein unendlich ferner Punkt sein.

Wir wissen, dass die potenzielle Energie von der felderzeugenden Ladung Q und von der Testladung q abhängt. Um ähnlich wie mit der Feldstärke E eine reine Feldgröße zu erhalten, definieren wir als elektrisches Potenzial $\varphi =\frac{E_{pot}}{q}$ und erhalten für eine Punktladung Q
$\varphi \left(\rho \right)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot \frac{Q}{r}.$

Damit haben wir eine Größe erhalten, die nur von der felderzeugenden Ladung und vom Ort abhängt, nicht aber von der Testladung.
Als elektrische Spannung zwischen zwei Punkten – nur so ist dieser Begriff sinnvoll – definieren wir die Potenzialdifferenz zwischen diesen Punkten: $U=\Delta \varphi .$