Die barometrische Höhenformel

Da Gase im Unterschied zu Flüssigkeiten kompressibel sind, nimmt der Druck beim Aufsteigen vom Grund der Atmosphäre nicht linear ab.
Um den Druckverlauf p(h) zu berechnen, muss man einige vereinfachende Annahmen machen: Wir nehmen an, dass die Lufthülle der Erde überall die gleiche Zusammensetzung hat, was annähernd stimmt und dass die Temperatur sich mit zunehmender Höhe nicht ändert, was nie stimmt (die Temperatur sinkt um etwa 6,5 K je km Höhenzunahme). Ohne diese Vereinfachungen ist aber die folgende Rechnung nicht möglich.

Der Beitrag einer Luftschicht mit der Dicke dh und der Dichte $\rho$ zum Gewicht der Luft über der Fläche A ist $\text{d}{F}_{\text{G}}=\rho \cdot g\cdot A\cdot \text{d}h,$ die Druckänderung also $\text{d}p=-\rho \cdot g\cdot \text{d}h.$

Wir schreiben das mit negativem Vorzeichen, weil beim Fortschreiten nach oben (dh positiv) der Druck abnimmt (dp negativ).

Außer dem Druck nimmt auch die Luftdichte nach oben ab.
Es gilt bei konstanter Temperatur das Gesetz von BOYLE und MARIOTTE $\rho \sim p$ bzw. $\frac{\rho }{p}=\frac{{\rho }_0}{p_0}$, dabei sind ${\rho }_0$ und $p_0$ Dichte und Luftdruck am Boden (h = 0).
Einsetzen von $\rho =\frac{{\rho }_0}{p_0}\cdot p$ ergibt $\text{d}p=-\frac{{\rho }_0}{p_0}\cdot g\cdot p\cdot \text{d}h$.

Diese Differenzialgleichung wird durch Trennen der Variablen (p und h) und Integration auf beiden Seiten gelöst. Man erhält:
$\frac{\text{d}p}{p}=-\frac{{\rho }_0}{p_0}\cdot g\cdot \text{d}h$, also $\ln p+C=-\frac{{\rho }_0}{p_0}\cdot g\cdot h$

Die Integrationskonstante C bestimmen wir aus der Randbedingung:
Für ${\text{h = 0 ist p = p}}_{\text{0}},$ woraus sich $C=-\ln p_0$ ergibt.
Für die barometrische Höhenformel folgt dann:
$p=p_0\cdot {\text{e}}^{-\frac{{\rho }_0}{p_0}\cdot g\cdot h}$

Der Luftdruck nimmt also exponentiell ab; streng genommen ist die Erdatmosphäre in keiner Höhe zu Ende.
Misst man den Luftdruck am Erdboden und in einer beliebigen Höhe, dann lässt sich daraus die Höhe bestimmen. Das ist ein beliebter Praktikumsversuch für Studenten. Auf diesem Prinzip beruht auch die Höhenmessung von Flugzeugen.

Für genauere Ansprüche genügt diese Gleichung wegen der vorgenommenen Vereinfachungen nicht. Man legt dann eine Normalatmosphäre zugrunde, die nach der empirisch ermittelten Gleichung
$p=p_0\cdot {(1-\frac{\mathrm{6,5}\cdot h/\text{km}}{288})}^{\mathrm{5,256}}$
verläuft.