Der nach dem französischen Mathematiker MICHEL ROLLE (1652 bis 1719) benannte Satz besagt Folgendes:
- Ist eine Funktion f im abgeschlossenen Intervall stetig und im offenen Intervall differenzierbar mit , dann existiert mindestens eine Stelle c zwischen a und b, also , so dass ist.
Beweis des Satzes von ROLLE
Man unterscheidet beim Beweis zwei Fälle.
- Fall: f ist in konstant
Es gilt also für jedes und damit für alle . - Fall: f ist in nicht konstant
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit gelte für die Funktionswerte . Da f in stetig ist, nimmt f in einen größten Wert an.
Für genügend kleines gilt:
Strebt h nun gegen null, so folgt hieraus .
Im Falle wird analog gefolgert.
Einen Spezialfall des Satzes von ROLLE erhält man für :
- Zwischen zwei Nullstellen a und b einer Funktion f, die in stetig und in differenzierbar ist, liegt mindestens eine Nullstelle von .
Geometrisch bedeutet der Satz von ROLLE, dass es mindestens einen Kurvenpunkt in gibt, dessen Tangente parallel zur
x-Achse ist.
Wir betrachten noch zwei Beispiele zum Satz von ROLLE und zu seiner Anwendung.
- Beispiel 1: Die Funktion ist ein Beleg dafür, dass man im Satz von ROLLE nicht formulieren darf, dass genau eine Zahl existiere.
Betrachtet man in , dann erfüllt f die Voraussetzungen des Satzes von ROLLE. Die Ableitungsfunktion ist . Für erhält man , woraus folgt.
- Beispiel 2: Für die Funktion ist im Intervall eine Stelle so zu bestimmen, dass die Tangente in an die Funktion f parallel zur x-Achse ist.
Für erhält man . Aus folgt und demzufolge .
Mit anderen Worten: An der Stelle besitzt die Funktion eine zur x-Achse parallele Tangente.
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Stand: 2010
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