Der Satz von Moivre

Der Satz von MOIVRE – benannt nach ABRAHAM DE MOIVRE (1667 bis 1754) – sagt aus, wie die Multiplikation bzw. Division und das Potenzieren von in trigonometrischer Form vorliegenden komplexen Zahlen auf einfache Operationen für die Winkel und die Beträge der komplexen Zahlen zurückgeführt werden können.

Im Folgenden sollen für die einzelnen Rechenoperationen die entsprechenden Formeln hergeleitet werden. Dazu seien $z_{1} u n d z_{2}$ komplexe Zahlen mit $z_{1} = r_{1} (\cos ϕ_{1} + i \sin ϕ_{1})$ und $z_{2} = r_{2} (\cos ϕ_{2} + i \sin ϕ_{2}) .$

Multiplikation

Es ist
$\begin{matrix} z_{1} \cdot z_{2} = r_{1} (\cos ϕ_{1} + i \sin ϕ_{1}) \cdot r_{2} (\cos ϕ_{2} + i \sin ϕ_{2}) \\ = r_{1} \cdot r_{2} [(\cos ϕ_{1} \cos ϕ_{2} - \sin ϕ_{1} \sin ϕ_{2}) + i (\sin ϕ_{1} \cos ϕ_{2} - \cos ϕ_{1} \sin ϕ_{2})] \end{matrix}$
und nach Anwendung der Additionstheoreme für Winkelfunktionen ergibt sich:

$z_{1} \cdot z_{2} = r_{1} \cdot r_{2} [\cos (ϕ_{1} + ϕ_{2}) + i \sin (ϕ_{1} + ϕ_{2})]$

Division

Es ist:
$\begin{matrix} \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1} (\cos ϕ_{1} + i \sin ϕ_{1})}{r_{2} (\cos ϕ_{2} + i \sin ϕ_{2})} \\ = \frac{r_{1} (\cos ϕ_{1} + i \sin ϕ_{1}) \cdot r_{2} (\cos ϕ_{2} - i \sin ϕ_{2})}{r_{2} (\cos ϕ_{2} + i \sin ϕ_{2}) \cdot r_{2} (\cos ϕ_{2} - i \sin ϕ_{2})} \\ = \frac{r_{1} \cdot r_{2} (\cos ϕ_{1} \cos ϕ_{2} + \sin ϕ_{1} \sin ϕ_{2}) + i (\sin ϕ_{1} \cos ϕ_{2} - \cos ϕ_{1} \sin ϕ_{2})}{r_{2}^{2} (\cos^{2} ϕ_{2} + \sin^{2} ϕ_{2})} \end{matrix}$

Da im Nenner $\cos^{2} ϕ_{2} + \sin^{2} ϕ_{2} = 1$ gilt und Realteil und Imaginärteil des Zählers als Additionstheoreme für trigonometrische Funktionen bekannt sind, folgt:

$\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} [\cos (ϕ_{1} - ϕ_{2}) + i \sin (ϕ_{1} - ϕ_{2})]$

Potenzieren

Für das Potenzieren gilt:

$z^{n} = r^{n} (\cos n ϕ + \sin n ϕ)$

Für natürliche Zahlen kann man dies wie folgt durch vollständige Induktion beweisen:

Die obige Formel ist sicherlich richtig für $n = 1.$
Es werde angenommen, die Formel sei richtig für $n = k (m i t k > 1),$ also $z^{k} = r^{k} (\cos k ϕ + \sin k ϕ) .$
Multipliziert man diese Gleichung mit z, so erhält man $z^{k + 1} = r^{k} (\cos k ϕ + \sin k ϕ) \cdot r (\cos ϕ + \sin ϕ)$
und nach Ausführen der Multiplikation
$z^{k + 1} = r^{k + 1} [\cos (k + 1) ϕ + \sin (k + 1) ϕ] . (w . z . b . w .)$

Ohne Beweis sei gesagt, dass die Aussage für das Potenzieren für beliebige reelle Zahlen gilt. Insbesondere heißt das, dass sich Wurzeln aus komplexen Zahlen damit berechnen lassen.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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