Das Paradoxon von Achilles und der Schildkröte

Auf den griechischen Philosophen ZENON von Elea (490 bis 430 v.Chr.) gehen eine Reihe von Paradoxa (griech.: widersinnige Behauptungen) zurück. Das bekannteste davon ist wohl das Paradoxon von ACHILLES und der Schildkröte.

ZENON behauptet darin, dass ACHILLES (griechischer Held des Trojanischen Krieges und als Schnellläufer berühmt) eine Schildkröte, die einen Vorsprung von einem Stadion (etwa 192,27 m) habe, niemals einholen könne, obwohl er mit der zwölffachen Geschwindigkeit wie diese laufe.

Dies begründete ZENON folgendermaßen: Hat ACHILLES das eine Stadion (also den ursprünglichen Vorsprung der Schildkröte) zurückgelegt, ist die Schildkröte bereits $\frac{1}{12}$ Stadion weiter, absolviert ACHILLES den Weg von $\frac{1}{12}$ Stadion (also den noch verbliebenen Vorsprung der Schildkröte), so ist die Schildkröte erneut weiter, und zwar um nun $\frac{1}{144}$ Stadion usw.

Immer dann, wenn ACHILLES also dort ankommt, wo die Schildkröte zuvor war, ist diese schon wieder an einem neuen Ort. Ihr Vorsprung vor ACHILLES verringert sich zwar immer mehr, verschwindet aber nie. Folglich könne er die Schildkröte niemals einholen.

Da dies jeglicher praktischen Erfahrung widerspricht, glaubte ZENON, die Unzulänglichkeit der Mathematik nachgewiesen zu haben.

Tatsächlich war jenes zenonsche Paradoxon mithilfe der griechischen Mathematik nicht zu widerlegen, da der dazu erforderliche Begriff des Grenzwertes nicht bekannt war. Im Folgenden soll nun der (scheinbare) Widerspruch geklärt werden.

Wann holt ACHILLES die Schildkröte ein?

Es sei s der (ursprüngliche) Vorsprung der Schildkröte, diese bewege sich mit der (konstanten) Geschwindigkeit $v_1$ und ACHILLES habe die Geschwindigkeit $v_2$ (mit $v_2>v_1$).

Wir gehen davon aus, dass ACHILLES die Schildkröte nach einer bestimmten Zeit t einholt. Dann gilt für die Wege:
$v_2\cdot t=s+v_1\cdot t$

Hieraus lässt sich die Zeit t ermitteln, und wir erhalten das folgende Ergebnis:
$t=\frac{s}{v_2-v_1}$

Inwieweit korrespondiert nun dieses Ergebnis mit den Überlegungen ZENONS?

Danach legt ACHILLES den (ursprünglichen) Vorsprung s der Schildkröte in einer Zeit $t_1=\frac{s}{v_2}$ zurück, währenddessen die Schildkröte einen (neuen) Vorsprung $v_1\cdot t_1$ gewinnt. Dieser wiederum wird durch ACHILLES in der Zeit $t_2=\frac{v_1\cdot t_1}{v_2}=\frac{v_1}{v_2}\cdot t_1$ durchlaufen.

In der Zeit $t_2$ „erarbeitet“ sich die Schildkröte einen Vorsprung $v_1\cdot t_2$, für den ACHILLES die Zeit $t_3=\frac{v_1}{v_2}\cdot t_2=\frac{v_1}{v_2}\cdot \frac{v_1}{v_2}\cdot t_1=t_1\cdot {\left(\frac{v_1}{v_2}\right)}^2$ benötigt usw.

Für die Summe der Zeiten gilt dann:
$\begin{array}{l}{t}_1+t_2+t_3+\mathrm{...}=t_1+\frac{v_1}{v_2}\cdot t_1+{\left(\frac{v_1}{v_2}\right)}^2\cdot t_1+\mathrm{....}\\ =t_1\left(1+\frac{v_1}{v_2}+{\left(\frac{v_1}{v_2}\right)}^2+\mathrm{...}\right)\\ =\frac{s}{v_2}\left(1+\frac{v_1}{v_2}+{\left(\frac{v_1}{v_2}\right)}^2+\mathrm{...}\right)\end{array}$

Bei dieser Summe handelt es sich um eine unendliche geometrische Reihe, die wegen $q=\frac{v_1}{v_2}<1$ konvergiert.

Nach der entsprechenden Summenformel ergibt sich:
$t=\frac{s}{v_2}\cdot \frac{1}{1-\frac{v_1}{v_2}}=\frac{s}{v_2}\cdot \frac{v_2}{v_2-v_1}=\frac{s}{v_2-v_1}$

Dieses Ergebnis stimmt mit unseren obigen Überlegungen überein.
Der (scheinbare) Widerspruch bestand darin, dass sich die griechischen Philosophen und Mathematiker zur Zeit ZENONS nicht vorstellen konnten, dass eine Addition unendlich vieler Summanden unter bestimmten Bedingungen einen endlichen Wert ergeben kann.