Darstellung geometrischer Objekte durch Differenzialgleichungen

Parabeln

Die Gleichung $y=a{x}^2+bx+c,a\ne \mathrm{0,}$ charakterisiert die Menge aller Parabeln, deren Achse parallel zur y-Achse ist. Die Integrale der drei Differenzialgleichungen
$\begin{array}{l}y\prime =2ax+bx=a^{\ast }x+b,a^{\ast }\ne \mathrm{0,}\\ y″=a^{\ast },a^{\ast }\ne 0undy″\prime =0\end{array}$
umfassen diese Parabeln.
(Darüber hinaus erfüllt aber auch die Funktionsgleichung y = 0 die Differenzialgleichung $y″\prime =0.$)

Geraden

$y\prime =\frac{y}{x}$ wird durch die Funktionen $y=cx,x\ne 0$ erfüllt.

Kreise

Aus der Gleichung des Kreises in Mittelpunktslage $x^2+y^2=r^2$ folgt:
$2x+2yy\prime =\mathrm{0,}alsoy\prime =-\frac{x}{y}$
$x+y{\prime }^2+yy\prime \prime =0$
Man überzeuge sich durch Einsetzen der Kreisgleichung.

Aus der Gleichung des Kreises in beliebiger Lage
${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=r^{2}fo\lg ty\prime =-\frac{x-a}{y-b}$.

Ellipsen

Ellipsen in Mittelpunktslage haben die Gleichung $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$
Ihre Differenziation ergibt $\frac{x}{a^2}+\frac{y{y}^{\prime }}{b^2}=\mathrm{0,}$ also $b^{2}x+a^{2}yy\prime =0bzw.y\prime =-\frac{b^2}{a^2}\frac{x}{y}$

Hyperbeln

Die Hyperbelgleichung $y=\frac{1}{x}ergibty\prime =-\frac{1}{x^2}=-\frac{y}{x}$.

Aus den Hyperbelgleichungen $x^2-y^2=c$ erhält man durch Differenziation
$x-yy\prime =0.$

Beispiel

Die Exponentialfunktion $y=a{e}^x$ erfüllt die Differenzialgleichungen
$y\prime =y,y\prime \prime =y,y\prime \prime \prime =y\prime \prime$ usw.
$y\prime =y$ führt nach Trennung der Variablen auf
${\displaystyle \int \frac{dy}{y}}={\displaystyle \int dx,\ln \left|y\right|}=x+c,y=e^c{e}^x=a{e}^x.$
$y\prime \prime =y$ ist eine lineare homogene Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten.
Der Ansatz $y=e^{\lambda x}liefert\left({\lambda }^2-1\right)e^{\lambda x}=0$ mit den Wurzeln ${\lambda }_{1,2}=\pm 1$
und die Darstellung der Kurvenschar $y\left(x\right)=c_1{e}^x+c_2{e}^{-x}.$
Es ist zu empfehlen, auch $y″\prime =y$ zu untersuchen.