Darstellung geometrischer Objekte durch Differenzialgleichungen

Parabeln

Die Gleichung y = a x 2 + b x + c , a 0, charakterisiert die Menge aller Parabeln, deren Achse parallel zur y-Achse ist. Die Integrale der drei Differenzialgleichungen
y = 2 a x + b x = a x + b , a 0, y = a , a 0 u n d y = 0
umfassen diese Parabeln.
(Darüber hinaus erfüllt aber auch die Funktionsgleichung y = 0 die Differenzialgleichung y = 0. )

Geraden

y = y x wird durch die Funktionen y = c x , x 0 erfüllt.

Kreise

Aus der Gleichung des Kreises in Mittelpunktslage x 2 + y 2 = r 2 folgt:
2 x + 2 y y = 0, a l s o y = x y
x + y 2 + y y = 0
Man überzeuge sich durch Einsetzen der Kreisgleichung.

Aus der Gleichung des Kreises in beliebiger Lage
( x a ) 2 + ( y b ) 2 = r 2 f o lg t y = x a y b .

Ellipsen

Ellipsen in Mittelpunktslage haben die Gleichung x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1.
Ihre Differenziation ergibt x a 2 + y y b 2 = 0, also b 2 x + a 2 y y = 0 b z w . y = b 2 a 2 x y

Hyperbeln

Die Hyperbelgleichung y = 1 x e r g i b t y = 1 x 2 = y x .

Aus den Hyperbelgleichungen x 2 y 2 = c erhält man durch Differenziation
x y y = 0.

Beispiel

Die Exponentialfunktion y = a e x erfüllt die Differenzialgleichungen
y = y , y = y , y = y usw.
y = y führt nach Trennung der Variablen auf
d y y = d x , ln | y | = x + c , y = e c e x = a e x .
y = y ist eine lineare homogene Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten.
Der Ansatz y = e λ x l i e f e r t ( λ 2 1 ) e λ x = 0 mit den Wurzeln λ 1 , 2 = ± 1
und die Darstellung der Kurvenschar y ( x ) = c 1 e x + c 2 e x .
Es ist zu empfehlen, auch y = y zu untersuchen.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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