Diese soll hier am Beispiel eines linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen erläutert werden.
Gegeben sei das folgende Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen:
Zur Berechnung von x und y wird das Additionsverfahren verwendet.
Die folgende Tabelle demonstriert die Vorgehensweise sowohl für die Eliminierung von x als auch für die Eliminierung von y.
Eliminieren von x | Eliminieren von y |
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Da
die Koeffizientendeterminante darstellt, werden die Determinanten derart gebildet, dass die Absolutglieder anstelle der jeweiligen Koeffizienten der Variablen geschrieben werden. So entstehen:
Unter der Voraussetzung, dass ist, stellt sich die Lösung des Gleichungssystems folgendermaßen dar:
Beispiel: Gegeben ist das folgende Gleichungssystem:
Dann ist:
Damit erhalten wir als Lösungen:
Für lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen x, y und z gilt dann analog:
Allgemein besagt die cramersche Regel:
- Für ein lineares Gleichungssystem mit n Unbekannten erhält man die Lösung als
Dabei ist D die Koeffizientendeterminante und wird aus D gebildet, indem die Koeffizienten von durch die Absolutglieder ersetzt werden.
Ein lineares Gleichungssystem mit n Variablen besitzt
- eine eindeutige Lösung, wenn und die beliebig sind,
- eine unendliche Lösungsmenge, wenn und alle gleich null sind,
- eine leere Lösungsmenge, wenn und wenigstens ein von null verschieden ist.
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Stand: 2010
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