Codierung mit Matrizen

Das der Verschlüsselung zugrunde liegende Prinzip ist dabei folgendes:
(1) Den Buchstaben des Alphabets werden eineindeutig Ziffern bzw. Ziffernpaare zugeordnet.
(2) Die so entstandene Ziffernfolge zerlegt man in Kolonnen zu zwei, drei oder mehr Elementen, die als Zeilenvektoren ${\overrightarrow{n}}^T$ aufgefasst werden.
(3) Dieser Ausgangsvektor ${\overrightarrow{n}}^T$ wird mit einer entsprechenden Codierungsmatrix C von rechts multipliziert.
(4) Es entsteht wieder ein Zeilenvektor ${\overrightarrow{c}}^T$, der die codierte Nachricht transportiert.
(5) Beim Empfänger wird der Vektor ${\overrightarrow{c}}^T$ mit dem Inversen $C^{-1}vonC$ wiederum von rechts multipliziert und so die ursprüngliche Ziffernfolge wieder hergestellt.

Wir demonstrieren die Vorgehensweise an einem Beispiel:
Beispiel: Der Satz Es gelingt gut soll verschlüsselt und entschlüsselt werden.

(1) Bilden der Ziffernfolge
Die Zuordnung von Ziffern erfolgt anhand nachstehender Tabelle.

Damit ergibt sich:
$\begin{array}{cccccccccccccc}E& S& & G& E& L& I& N& G& T& & G& U& T\\ 5& 19& & 7& 5& 12& 9& 14& 7& 20& & 7& 21& 20\end{array}$

(2) Bilden der Zeilenvektoren $\overrightarrow{n{}_i}$
$\begin{array}{c}{\overrightarrow{n_1}}^T=\left(\begin{array}{ccc}5& 19& 7\end{array}\right)\\ {\overrightarrow{n_2}}^T=\left(\begin{array}{ccc}5& 12& 9\end{array}\right)\\ {\overrightarrow{n_3}}^T=\left(\begin{array}{ccc}14& 7& 20\end{array}\right)\\ {\overrightarrow{n_4}}^T=\left(\begin{array}{ccc}7& 21& 20\end{array}\right)\end{array}$

(3) Multiplikation mit der Codierungsmatrix C
Es sei $C=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 5\\ 3& 5& 6\end{array}\right).$
Damit erhalten wir:
$\begin{array}{c}{\overrightarrow{n_1}}^T\cdot C=\left(\begin{array}{ccc}5& 19& 7\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 5\\ 3& 5& 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}64& 121& 152\end{array}\right)=\overrightarrow{c_1}\\ {\overrightarrow{n_2}}^T\cdot C=\left(\begin{array}{ccc}5& 12& 9\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 5\\ 3& 5& 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}56& 103& 129\end{array}\right)=\overrightarrow{c_2}\\ {\overrightarrow{n_3}}^T\cdot C=\left(\begin{array}{ccc}14& 7& 20\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 5\\ 3& 5& 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}88& 156& 197\end{array}\right)=\overrightarrow{c_3}\\ {\overrightarrow{n_4}}^T\cdot C=\left(\begin{array}{ccc}7& 21& 20\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 5\\ 3& 5& 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}109& 198& 246\end{array}\right)=\overrightarrow{c_4}\end{array}$

(4) Übertragung
Die bei (3) entstande Ziffernfolge
$\begin{array}{cccccccccccc}64& 121& 152& 56& 103& 129& 88& 156& 197& 109& 198& 246\end{array}$
wird nun übertragen.

(5) Decodierung
Der Empfänger decodiert die Nachricht durch Multiplikation mit der inversen Matrix, hier mit $C^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& -3& 2\\ -3& 3& -1\\ 2& -1& 0\end{array}\right).$
Dadurch ergibt sich:
$\begin{array}{c}{\overrightarrow{c_1}}^T\cdot C^T=\left(\begin{array}{ccc}64& 121& 152\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}1& -3& 2\\ -3& 3& -1\\ 2& -1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}5& 19& 7\end{array}\right)=\overrightarrow{n_1}\\ {\overrightarrow{c_2}}^T\cdot C^T=\left(\begin{array}{ccc}56& 103& 129\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}1& -3& 2\\ -3& 3& -1\\ 2& -1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}5& 12& 9\end{array}\right)=\overrightarrow{n_2}\\ {\overrightarrow{c_3}}^T\cdot C^T=\left(\begin{array}{ccc}88& 156& 197\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}1& -3& 2\\ -3& 3& -1\\ 2& -1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}14& 7& 20\end{array}\right)=\overrightarrow{n_3}\\ {\overrightarrow{c_4}}^T\cdot C^T=\left(\begin{array}{ccc}109& 198& 246\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}1& -3& 2\\ -3& 3& -1\\ 2& -1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}7& 21& 20\end{array}\right)=\overrightarrow{n_4}\end{array}$

Der Empfänger erhält damit folgende Ziffernfolge mit entsprechender Zuordnung der Buchstaben:
$\begin{array}{ccccccccccccc}5& 19& 7& 5& 12& 9& 14& 7& 20& 7& 21& 20& \\ \text{E}& S& G& E& L& I& N& G& T& G& U& T& \end{array}$

Damit ist die ursprüngliche Buchstabenfolge wieder hergestellt und die Nachricht entschlüsselt.