Beweise unter Verwendung von Vektoren

Sätze der ebenen Geometrie lassen sich mithilfe von Vektoren mitunter sehr knapp und übersichtlich beweisen. Auf der Grundlage entsprechender Figuren, in denen die relevanten Stücke vektoriell gekennzeichnet werden, formuliert man Voraussetzungen und Behauptung jeweils mittels Vektoren und versucht, durch logische Schlüsse unter Verwendung der Rechengesetze für Vektoren den Beweis zu führen.
Bereits Addition und Vervielfachung von Vektoren können dabei sehr hilfreich sein, die Hinzunahme multiplikativer Verknüpfungen und deren Eigenschaften erschließen weitere Anwendungsmöglichkeiten. Die folgenden Beispiele illustrieren diese Vorgehensweise.

Beispiel 1: Man beweise: In einem Dreieck ist die Verbindungsstrecke zweier Seitenmittelpunkte parallel zur dritten Seite und halb so lang wie diese.

Dreieck / Verbindungsstrecke von Seitenmittelpunkten

Dreieck / Verbindungsstrecke von Seitenmittelpunkten

Voraussetzung:
a → + b → + c → = o →   ;         B   B ' → = B '   C → = 1 2   a →   ;             C   A ' → = A '   A → = 1 2   b →

Behauptung:
A '   B ' → = 1 2   c →

Beweis:
A '   B ' → = − 1 2   b → + ( − 1 2   a → ) = − 1 2 (   b → + a ¯   ) = − 1 2 (   a → + b ¯   )
Mit a → + b → = −   c → folgt A '   B ' → = − 1 2   ( −   c → ) = 1 2   c → .
w.z.b.w.

Beispiel 2: Es ist zu beweisen, dass in einem Trapez die Mittellinie (also die Verbindungsstrecke der Schenkelmittelpunkte) parallel zu den Grundseiten verläuft und halb so lang wie deren Summe ist.

Mittellinie im Trapez

Mittellinie im Trapez

Voraussetzung:
a → + b → − c → − d → = o →   ;         a →   | |   c → ;           A   E → = 1 2   d → ;           B   F → = 1 2   b →

Behauptung:
e → = 1 2   (   a → + c →   )

Beweis:
a → + 1 2     b → − e → − 1 2     d → = o →   ;         e → + 1 2     b → − c →     − 1 2     d → = o →

Löst man beide Gleichungen nach e → auf, so folgt:
e → = a → + 1 2     b → − 1 2     d →             b z w .             e → = c → + 1 2     d → − 1 2     b →

Durch Addition dieser beiden Gleichungen und Division durch 2 erhält man schließlich:
e → = 1 2   (   a → + c →   )
w.z.b.w.

Beispiel 3: Es ist nachzuweisen, dass die Seitenhalbierenden eines Dreiecks ABC einander in einem Punkt S schneiden und dass dieser Schnittpunkt (der Schwerpunkt des Dreiecks genannt wird) jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2       :       1 teilt. Man zeige hierzu, dass s → = 1 3   (   a → + b → + c →   ) für die Ortsvektoren der Punkte S, A, B bzw. C gilt.

Schnittpunkt der Seitenhalbierenden eines Dreiecks

Schnittpunkt der Seitenhalbierenden eines Dreiecks

Nachweis:
Wir vergleichen a → + 2 3   s → a   ,         b → + 2 3   s → b           u n d           c → + 2 3   s → c als Ortsvektoren bezüglich O.
Mit   s → a = 1 2   (   b → + c →   ) − a → gilt:
a → + 2 3   s → a = 2 3 (   1 2   (   b → + c →   ) − a → ) = 1 3   (   a → + b → + c →   )
Ebenso erhält man:
b → + 2 3   s → b = 1 3   (   a → + b → + c →   )               u n d           c → + 2 3   s → c = 1 3   (   a → + b → + c →   )
Alle drei zu vergleichenden Ortsvektoren beschreiben also den Schnittpunkt S der Seitenhalbierenden eines Dreiecks ABC: O   S → = s → = 1 3   (   a → + b → + c →   )     .
Dieser Punkt S teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2       :       1 .

Verwendet man außer Addition und Vervielfachung von Vektoren auch noch multiplikative Verknüpfungen und deren Eigenschaften, so ergeben sich weitere Anwendungsmöglichkeiten.

Beispiel 4: Man beweise den Satz des THALES auf vektoriellem Wege.

Winkel im Halbkreis

Winkel im Halbkreis

Voraussetzung:
A   M ¯ = M   B ¯ = |   a →   |   = r ;         M   C ¯ = |   b →   | = r    

Behauptung:
∢     B   C   A = 90 °  

Beweis:
A   C →     ⋅     B   C →   = (   a → + b →   ) ⋅ (   b → − a →   ) = −   a → 2 + b → 2
Wegen |   a →   |   = |   b →   | = r   ,       a l s o       a → 2 = b → 2 , gilt damit A   C →     ⋅     B   C →   = 0 , d.h.: AC → ⊥ BC →
Damit folgt ∢     B   C   A = 90 °   .
w.z.b.w.

Vektor Beweis Skalarprodukt Lehrsatz des Thales

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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