Berechnung der Bogenlänge

Die Berechnung der Länge s des Kurvenbogens zwischen den Punkten P und Q kann dann unter Verwendung nachstehenden Satzes erfolgen:

• Ist f eine über einem Intervall $\left[a;b\right]$ differenzierbare Funktion, dann besitzt der Bogen des Graphen von f im Intervall $\left[a;b\right]$ die Länge
  $s={\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{1+y{\text{'}}^2}}dx={\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{1+{\left[f\text{'}\left(x\right)\right]}^2}}dx$.

Beispiele für innermathematische und praktische Anwendungen

(1) Wie lang ist der Parabelbogen, der im ersten Quadranten von der Parabel $y=\sqrt{x}$ im Intervall $\left[0;16\right]$ gebildet wird?

(2) Der Graph der Funktion f mit $y=f\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(e^x+e^{-x}\right)$ heißt Kettenlinie.
Die Länge der Kettenlinie soll im Intervall $\left[-a;a\right]$ berechnet werden.

Es ist

Daraus folgt $y\text{'}=\frac{a-x}{2\sqrt{ax}}$.
Damit gilt:
$\begin{array}{c}s=2\cdot {\displaystyle \underset{0}{\overset{3a}{\int }}\sqrt{1+\frac{{\left(a-x\right)}^2}{4ax}}}dx=2\cdot {\displaystyle \underset{0}{\overset{3a}{\int }}\sqrt{\frac{{\left(a+x\right)}^2}{4ax}}}dx\\ =2\cdot {\displaystyle \underset{0}{\overset{3a}{\int }}\frac{a+x}{2\sqrt{ax}}}dx\\ ={\left[\frac{2}{3}\sqrt{\frac{x}{a}}\cdot \left(x+3a\right)\right]}_0^{3a}=4\sqrt{3}\cdot a(LE)\end{array}$

(4) Das Verkehrsprojekt Deutsche Einheit umfasst den Bau einer Autobahn durch den Thüringer Wald, die dessen Kamm von Ilmenau nach Zella-Mehlis quert. Unmittelbar vor dem Rennsteigtunnel als der Hauptkammdurchquerung wird die Autobahn durch die größte Bogenbrücke Deutschlands über das Tal der Wilden Gera geführt.
Die Bogenspannweite beträgt 252 m (Bauwerksgesamtlänge 552 m), wobei im Bogenbereich sechs Pfeiler im Abstand von jeweils 42 m die Fahrbahn tragen.

Die Brücke erhebt sich etwa 110 m über dem Talgrund, der Beginn des Bogens und der Fußpunkt der äußersten Pfeiler liege rund 38,5 m über dem Talgrund. Die Stärke des Bogens verringert sich von 5,5 m an den Widerlagern auf 3,3 m im höchsten Punkt. Man berechne näherungsweise die Länge des inneren Bogens.

Zur Lösung dieser Aufgabe nehmen wir an, dass der innere Brückenbogen durch den Graphen einer quadratischen Funktion angenähert werden kann.
Die innere Parabel hat (unter Berücksichtigung der Bogenstärke) dann den Scheitelpunkt $S\left(0;-\mathrm{3,3}\right)$ und geht durch die Punkte $P_{1;2}\left(\pm \mathrm{123,25};-\mathrm{71,5}\right)$.
Unter Beachtung der Achsensymmetrie erhält man aus $y=a{x}^2+c$ als Gleichung der Parabel $y=-\mathrm{0,0045}{x}^2-\mathrm{3,3}$.
Mit $y\text{'}=-\mathrm{0,009}x$ folgt für die Bogenlänge
$s={\displaystyle \underset{-\mathrm{123,25}}{\overset{\mathrm{123,25}}{\int }}\sqrt{1+{\left(-\mathrm{0,009}x\right)}^2}}dx\approx 290\left(m\right)$.

Bei der Berechnung unterstützt der Einsatz eines Rechners mit CAS.