Aussageformen

Aussagen sind sinnvolle sprachliche Äußerungen bzw. entsprechenden Zeichenreihen, die entweder wahr oder falsch sind.

Betrachtet man im Vergleich hierzu sprachliche Gebilde wie

• x ist größer als 2,
• x sitzt neben y,
• x ist nicht durch y teilbar,

so stellt man fest, dass diese zwar im grammatikalischen Sinne Sätze sind und eine gewisse „äußerliche“ Ähnlichkeit mit Aussagen besitzen, aber nicht als wahr oder falsch bezeichnet werden können und deshalb eben keine Aussagen sind.

Der Grund hierfür ist: Jeder dieser Sätze enthält „freie“ Variable und muss daher – wie der bedeutende englische Mathematiker und Philosoph BERTRAND RUSSELL (1872 bis 1969) einmal bemerkte – als bloßes Schema aufgefasst werden, nur als Schale, als leeres Gefäß für eine Bedeutung, nicht als etwas an sich Sinnvolles (B. RUSSELL in „Einführung in die mathematische Philosophie“).

Aussagen entstehen aus den obigen Sätzen offenbar erst dann, wenn man den in ihnen auftretenden freien Variablen eine bestimmte Bedeutung gibt, d.h., wenn man diesen Variablen ein Objekt aus einem geeigneten Grundbereich G zuordnet (man sagt auch: die Variablen belegt) bzw. – auf der „Zeichenebene“ gesprochen – wenn man anstelle der Zeichen für die (freien) Variablen die Namen oder Zeichen von bestimmten Objekten aus G einsetzt.

Anmerkung: Handelt es sich bei G um eine Menge (wovon nachfolgend ausgegangen werden soll), so können wir auch gleich von den Elementen aus G sprechen.

Durch diese Variablenbelegung entstehen aus obigen Sätzen (sprachlichen Gebilden) beispielsweise die folgenden Aussagen:

• 3 ist größer als 2 (bei Grundbereich $G=\mathbb{N}$).
• Jonas sitzt neben Anton (wenn der Grundbereich z.B. die Schüler einer bestimmten Klasse sind).
• 6 ist nicht durch 4 teilbar (bei Grundbereich $G=\mathbb{N}$).

Eine zweite Möglichkeit der Überführung obiger Sätze (sprachlicher Gebilde) in Aussagen besteht darin, die „freien“ (also mit beliebigen Objekten aus dem jeweiligen Grundbereich belegbaren) Variablen durch bestimmte generalisierende Formulierungen an einen bestimmten Grundbereich zu binden, eine Variablenbindung vorzunehmen. Solche Formulierungen sind z.B. (nicht) für alle Elemente aus G gilt ..., es gibt ein Element (keine Elemente) aus G, für das (die) gilt ... o.Ä.

Auf die einleitend angegebenen sprachlichen Gebilde bezogen ließen sich so z.B. folgende Aussagen formulieren:

• Nicht für alle Primzahlen (also alle Elemente x aus der Menge der Primzahlen) gilt:
  x ist größer als 2.
• Es gibt zwei Schüler x und y (aus einer bestimmten Klasse), für die gilt:
  x sitzt neben y.
• Für alle verschiedenen Elemente x und y aus der Menge der Primzahlen gilt:
  x ist nicht durch y teilbar.

Natürlich wäre beispielsweise auch der Satz Für alle Elemente x aus $\mathbb{N}$ gilt: x ist größer als 2 eine Aussage, allerdings eine falsche.

Ausgehend von obigen Überlegungen wird vereinbart:
Unter einer Aussageform versteht man eine sinnvolle sprachliche Äußerung mit mindestens einer freien Variablen, die zur Aussage wird, wenn man

• für die freien Variablen die Namen von Objekten (Elementen) aus dem Grundbereich G einsetzt oder
• die freie(n) Variable(n) durch Formulierungen wie für alle Objekte (Elemente) aus G gilt ... oder es gibt Objekte (Elemente) aus G, für die gilt ... bindet.

Als Kurzschreibweise für eine Aussageform mit der (den) freien Variablen x oder x und y usw. wird häufig $H\left(x\right)$ bzw. $H\left(x;y\right)$ usw. verwendet.

Aussagen, die durch Variablenbindung mittels für alle ... oder es gibt ... aus Aussageformen entstehen, werden All- bzw. Existenzialaussagen genannt.
Den Alloperator „für alle ...“ bzw. den Existenzialoperator „es gibt ...“ kennzeichnet man häufig durch abkürzende Symbole: Anstatt für alle x schreibt man $\forall \left(x\right)$ und für es gibt ein x dann $\exists \left(x\right)$.

Beide Operatoren können auch gekoppelt auftreten, z.B.:
$\forall \left(x\right)\exists \left(x\right)\left(x<yundx,y\in \mathbb{N}\right)$

Diese Zeichenreihe ließe sich dann in ausführlicher Sprechweise etwa folgendermaßen formulieren: Für alle natürlichen Zahlen x gibt es eine natürliche Zahl y, die größer als x ist.

Geht durch Einsetzen von Namen von Objekten (Elementen) aus dem Grundbereich G für die Variable(n) eine Aussageform in eine wahre Aussage über, so sagt man, dass diese Elemente die Aussageform erfüllen.

Anmerkung: Zur Vereinfachung sagt man auch: Für die Variablen werden Objekte (Elemente) aus G eingesetzt.

Hinsichtlich der Beziehungen zwischen einer Aussageform und den Elementen ihres Grundbereichs G sind drei Fälle zu unterscheiden:

• Kein Element aus G erfüllt die Aussageform – die Aussageform ist über G unerfüllbar (nicht erfüllbar, kontradiktorisch).
  Beispiel: Die Aussageformen $H\left(x\right)\text{:}{x}^2<x$ oder $H\left(x,y\right)\text{:}x+y+1=0$ sind über $G=\mathbb{N}$ unerfüllbar.
• Mindestens ein Element aus G, aber nicht alle Elemente erfüllen die Aussageform – die Aussageform ist über G erfüllbar.
  Beispiel: Die Aussageformen $H\left(x\right)\text{:}{x}^2<x^3$ oder $H\left(x,y\right)\text{:}{x}^y=y^x$ sind über $G=ℝ$ erfüllbar.
• Alle Element aus G erfüllen die Aussageform – die Aussageform ist über G allgemeingültig (und damit natürlich erst recht erfüllbar).
  Beispiel: Die Aussageformen $H\left(x\right)\text{:}{x}^2\ge 0$ oder $H\left(x,y\right)\text{:}{\left(x+y\right)}^2=x^2+2xy+y^2$ sind über $G=ℝ$ allgemeingültig.

Bereits die obigen Beispiele zeigen, dass es nur bei Angabe des jeweiligen Grundbereichs sinnvoll ist, eine Aussageform als erfüllbar (eb), allgemeingültig (ag) bzw. unerfüllbar (ub) zu bezeichnen. Dies verdeutlichen auch noch einmal die auf verschiedene Zahlenmengen als Grundbereiche (natürliche Zahlen $\mathbb{N}$, ganze Zahlen $\mathbb{Z}$, rationale Zahlen $\mathbb{Q}$, reelle Zahlen $ℝ$) bezogenen nachfolgenden Beispiele.