Asymptoten (asymptotische Linien)

Wie das Verhalten einer gebrochenrationalen Funktion für x ± im Einzelnen aussieht, hängt vom Grad n der Zählerfunktion p(x) und vom Grad m der Nennerfunktion q(x) ab. Dabei lassen sich folgende Fälle unterscheiden:

  1. Fall: n < m

Sei f(x) = 4x x 2 + 3 mit n = 1 und m = 2 eine gebrochenrationale Funktion, die für alle x definiert ist.

Waagerechte Asymptote (x-Achse)

Waagerechte Asymptote (x-Achse)

Um Aussagen über das „Grenzverhalten“ der Funktion f machen zu können, sind die Grenzwerte lim x + f(x) und lim x f(x) zu bilden. Es gilt:
lim x + 4 x x 2 + 3 = lim x + 4 x 1 + 3 x 2 = 0 u n d lim x 4 x x 2 + 3 = lim x 4 x 1 + 3 x 2 = 0

In dem Fall ist also die x-Achse waagerechte Asymptote.

  1. Fall: n = m

Gegeben sei die Funktion f(x) = 3x + 1 x + 1 .
Diese Funktion hat an der Stelle x 0 = 1 eine Polstelle.

Waagerechte Asymptote (Parallele zur x-Achse)

Waagerechte Asymptote (Parallele zur x-Achse)

Für die Grenzwerte lim x + f(x) und lim x f(x) ergibt sich:
lim x ± 3 x + 1 x + 1 = lim x ± 3 + 1 x 1 + 1 x = 3

Das heißt, die Gerade y = 3 ist eine waagerechte Asymptote.

  1. Fall: n = m + 1

Bei der Funktion f ( x ) = x 2 + x 2 x + 1 ist der Grad der Zählerfunktion um 1 größer als der Grad der Nennerfunktion.

Schiefe Asymptote (Winkelhalbierende y = x)

Schiefe Asymptote (Winkelhalbierende y = x)

Um eine genaue Aussage über das Verhalten von f(x) für x ± machen zu können, dividiert man das Zählerpolynom durch das Nennerpolynom, dadurch wird der Funktionsterm in eine Summe aus einem ganzrationalen und einem gebrochenrationalen Term zerlegt:
( x 2 + x - 2 ) : ( x + 1 ) = x - 2 x + 1 - ( x 2 + x ) ¯ 0    

Werden jetzt Betrachtungen zum Grenzwertverhalten der Funktion f durchgeführt, so erkennt man, dass sich die Funktionswerte von f für x ± immer weniger von denen der Funktion y = x unterscheiden, da der Term 2 x + 1 gegen null strebt.

Das heißt, die Gerade mit der Gleichung y = x ist schiefe Asymptote.

  1. Fall: n > m + 1

Die Funktion f ( x ) = x 4 1 x ist für alle x 0 definiert.
Durch Polynomdivision erhält man f ( x ) = x 3 1 x .

Asymptotische Linie

Asymptotische Linie

Dann gilt für das Grenzwertverhalten:
lim x ± ( x 3 1 x ) = lim x ± x 3 lim x ± 1 x = ±

Da der Term 1 x für x ± gegen null strebt, wird der Unterschied der Funktionswerte von f(x) und denen von y = x 3 immer kleiner. Das bedeutet aber, dass sich der Graph von f asymptotisch an den Graphen y = x 3 von nähert, er wird als asymptotische Kurve des Graphen y = x 3 von f bezeichnet.

Zusammenfassend lässt sich Folgendes feststellen:
Der Graph einer gebrochenrationalen Funktion der Form
f(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + ... + a 1 x + a 0 b m x m + b m x m 1 + ... + b 1 x + b 0 m i t a n , b m 0
hat für x ± im Falle

  1. n < m die x-Achse als waagerechte Asymptote;
  2. n = m die Gerade mit der Gleichung y = a n b m als waagerechte Asymptote;
  3. n = m + 1 eine schiefe Asymptote, deren Gleichung man durch Polynomdivision bestimmt.
  4. n > m + 1 eine asymptotische Linie als Näherungskurve, deren Gleichung man ebenfalls durch Polynomdivision bestimmt.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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